Bonsoir, j'aimerai savoir comment trouver un équivalent de l'intégrale de 0 à n de (arctan(t) / (1+t)) dt

Go intégration par partie
$$ \int_0^n \frac{\arctan t}{1+t}\,\mathrm dt =\log(1+n)\arctan n-\underbrace{\int_0^n \frac{\log(1+t)}{1+t^2}\,\mathrm dt}_{\text{converge vers une limite finie}} $$

Le 23 mai 2019 à 20:55:19 DonDoritos2 a écrit :
Go intégration par partie
$$ \int_0^n \frac{\arctan t}{1+t}\,\mathrm dt =\log(1+n)\arctan n-\underbrace{\int_0^n \frac{\log(1+t)}{1+t^2}\,\mathrm dt}_{\text{converge vers une limite finie}} $$

Oui c'est ce que j'ai d'abord fait, j'ai ensuite tenté d'encadrer ln(1+t) / (1+t^2) et d'utiliser la croissance de l'intégrale mais sans succès

Montre que en $\infty$ on a :
$$ \frac{\log(1+t)}{1+t^2} = \mathrm o\left(\frac{1}{t^{3/2}}\right) $$

Le 23 mai 2019 à 21:05:56 DonDoritos2 a écrit :
Montre que en $\infty$ on a :
$$ \frac{\log(1+t)}{1+t^2} = \mathrm o\left(\frac{1}{t^{3/2}}\right) $$

je veux bien mais ensuite?

Qu'est-ce qu'il se passe quand t est suffisamment grand ? Une inégalité ?

on vient de montrer que l'intégrale était convergente, pour t qui tend vers l'infini ln(1+t) / (1+t^2) tend vers 0

Dire que l'intégrande tend vers zéro ne suffit pas, par exemple avec 1/t. Si au lieu d'un petit o je te dis que c'est aussi un grand O, qu'est-ce que tu as envie de dire ?

Bien entendu, 1/t(^3/2) est une série de Riemann, donc par négligeabilité il y a convergence

Plutôt une intégrale de Riemann convergente Tu connais les intégrales impropres, si oui c'est vite réglé, sinon faut justifier que la suite d'intégrale a une limite.

Le 23 mai 2019 à 21:44:17 DonDoritos2 a écrit :
Plutôt une intégrale de Riemann convergente Tu connais les intégrales impropres, si oui c'est vite réglé, sinon faut justifier que la suite d'intégrale a une limite.

Oui une intégrale pas une série

Je connais les intégrales impropres oui, mais je ne vois pas comment avancer

Ben c'est le critère de comparaison L'intégrande est négligeable devant 1/t^(3/2) qui donne une intégrale convergente au voisinage de l'infini, donc $\int_0^\infty \frac{\log(1+t)}{1+t^2}\mathrm dt$ converge

ah mais je suis con en fait on a un équivalent à ln(n) * pi/2 non?

Bien sûr

Le 23 mai 2019 à 21:50:49 DonDoritos2 a écrit :
Ben c'est le critère de comparaison L'intégrande est négligeable devant 1/t^(3/2) qui donne une intégrale convergente au voisinage de l'infini, donc $\int_0^\infty \frac{\log(1+t)}{1+t^2}\mathrm dt$ converge

oui ça je sais c'est ce que j'avais voulu dire plus haut maladroitement

Le 23 mai 2019 à 21:53:59 DonDoritos2 a écrit :
Bien sûr

Je suis un jambon mec désolé

merci en tout cas

De rien