Bonsoir,

Je dois déterminer les fonctions f continues sur [0,1] telles que :

f(x)= Somme pour n allant de 1 à +inf de f(x^n)/2^n

J'aurai intuituvement pensé que les seules fonctions possibles sont les fonctions constantes mais je ne sais pas le démontrer proprement en utilisant le fait que f(x^n)-->f(0) à partir d'un certain rang

Voici quelques indications :

1) Vérifie que g(x) = f(x) - f(0) vérifie exactement la même équation fonctionnelle.
2) Suppose dans un premier temps que f(0) = 0
3) Fixe un x dans [0,1[ et un $\varepsilon > 0$ et utilise la continuité de $f$ en $0$ pour avoir une inégalité...
4) Montre que pour t dans [0,1] on a
$$ f(t) = \sum_{n=1}^\infty 2^{-n} f(t^{n+1})$$
5) Borne cette quantité en faisant intervenir
$$ \sup_{0\leqslant s \leqslant t^2} \vert f(s)\vert $$
6) Passe à la borne supérieure quand $t\in[0,x]$, itère la relation et conclus que $\vert f(x)\vert \leqslant\varepsilon$

Ah merci beaucoup même si je dois décrypter le latex sur tel