Koukou tout le monde o/

J'ai une question rapide et simple à comprendre (si tant est qu'on ait niveau Bac+1 minimum): est ce que tout espace vectoriel admet une base ?
Attention, par "base", j'entends aussi les bases infinies. Par exemple, R[X] admet une base (qui est la famille des X^i, i dans N).

Je me suis posé cette question il y a quelques mois quand j'ai eu, dans un exercice, la question suivante: "Peut-on toujours trouver une norme pour un espace vectoriel ?". Et là, évidemment, j'ai fais plusieurs tests. En dimension fini, ça marche, avec la norme infinie (max des valeurs absolues etc). Puis après, j'ai voulu regarder des espaces vectoriels de dimension infinie, avec une base. R[X] par exemple. Et j'aurais pu jouer là aussi sur le max des valeurs absolues ou quelque chose comme ça, qui c'est, ce qui m'a amené à la question que je viens de poser (en passant, pour cet exercice, aucun de mes profs n'a trouvé la réponse, comme quoi certains kiffent poser les questions à leurs élèves pour ne pas y répondre '-' Cela dit, pour répondre à la question, quand j'ai essayé de faire cet exercice, je n'ai pensé qu'aux R-ev ou C-ev, qui sont les plus simples. Mais ne pourrait-on pas trouver un espace vectoriel avec un corps différent, complètement farfelu, où on ne pourrait trouver aucune norme ? Par exemple, je sais pas, un F_5 espace vectoriel, où F_5 sont les entiers modulos 5 ?)

Mais bref, c'est pas ça la question principale. La question qui m'intéresse c'est: est ce que je peux TOUJOURS trouver une base (éventuellement infinie) à un espace vectoriel ?

Si oui, j'ose pas vous demander la démonstration qui doit être terrifiante, ou si elle ne l'est pas, elle doit faire intervenir le lemme de Zorn ou un truc du genre.

Merci d'avance o/

Oui : https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_base_incompl%C3%A8te

comme quoi certains kiffent poser les questions à leurs élèves pour ne pas y répondre '-'

C'est une approche moins scolaire que ce dont tu as l'habitude, mais c'est pas absurde. Le prof te pose un exo difficile, il veut voir quels vont être tes réflexes : regarder des cas particuliers, rajouter des hypothèses, traiter des sous-cas, essayer de produire un contre-exemple, raisonner par l'absurde, etc. Il peut y avoir plein de choses pertinentes à dire même si on ne sais pas résoudre entièrement l'exercice. Faut pas se laisser démonter par ça.

Oui tu as besoin de Zoooorn ! Ou du moins de l'axiome du choix k-dépendant avec k le cardinal de ton espace vectoriel, si tu veux découvrir le côté obscur de la force avec les récurrences transfinies

La démonstration est loin d'être terrifiante (sauf si éventuellement tu as l'âme d'un logicien ou d'un constructiviste). Perso je préfère l'approche transfinie, car c'est la plus naturelle, Zorn sert juste de moteur de récurrence (on bypass le schéma de substitution ainsi). Partons de ce qu'on sait en dimension finie. J'ai E de dimension n>0, je commence par piocher un vecteur non nul, il forme une famille libre et si n>1 c'est pas encore générateur, donc je continue. Je choisis un deuxième vecteur qui n'est pas sur la droite engendrée par le premier vecteur. Si n>2 c'est toujours pas générateur, je continue avec un nouveau vecteur indépendant, etc. et je m'arrête au bout de n étapes. Pour la récurrence transfinie c'est la même idée, mais jusqu'où faut il s'arrêter ?

Bah intuitivement on peut pas piocher plus d'éléments qu'il y en a dans E, donc au plus on s'arrête à k = |E| étapes. Mais IR est indénombrable, alors qu'en tant que IR-ev il est de dimension un, donc on peut s'arrêter bien avant. Pour ça il faut arrêter la construction quand c'est générateur et sauter toutes les "étapes restantes". Reste à formaliser ça dans le langage des récursions transfinies et c'est plié. Simple non ?

Au passage il me semble qu'une base de IR sur le corps des rationnels a le continu, comme quoi on peut parcourir autant d'éléments qu'il y en a dans l'ev pour construire une base

Avec Zorn il y a démo sur wikipédia je crois, mais je peux expliquer en détail, en reprenant l'idée de la récurrence transfinie. Puisque Zorn est un outil de théoricien des ensembles pour exécuter de telles machineries.

On suppose que $E$ est non trivial. Prenons $v$ un vecteur non nul. La famille $\{v\}$ est libre. L'idée de la construction, c'est d'étendre de bout en bout cette famille jusqu'à engendrer tout l'espace. Alors il est illusoire de vouloir construire explicitement de telles complétions, ni même d'espérer les ordonner de façon simple pour former une suite croissante (c'est tout l'enjeu de la construction transfinie de faire ceci). C'est là que Zorn intervient :

Tout ensemble non vide et inductif admet un élément maximal

Pour cela on va considérer l'ensemble des complétions libres $\mathscr{L}$ de $\{v\}$ au sens large.
Naturellement on va l'ordonner par l'inclusion, et c'est non vide car $\{v\}$ en fait partie.
Reste à vérifier que c'est inductif, immédiat puisque les chaînes forment des familles filtrantes.
Mais faisons le quand même. Soit $\mathcal C$ une chaîne et on pose $\mathscr{L} = \bigcup \mathcal C$ la réunion de la chaîne. Il s'agit d'une famille libre puisque si on prend $v_1,\ldots,v_n$ dans la réunion et $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ des scalaires de telle sorte que
$$ \lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_n v_n = 0 $$
comme $\mathcal C$ est totalement ordonnée, il y a forcément un élément de la chaîne qui contient tous les $v_i$ en même temps. Un tel élément possède des vecteurs libres, donc les $\lambda_i$ sont nuls.
De plus, $v$ fait partie de chaque élément de la chaîne, a fortiori de la réunion. Ça montre que c'est inductif.

Qu'est-ce que cette étape représente ? La chaîne contient les étapes déjà réalisées au cours de la récurrence transfinie, en construisant un majorant à la chaîne, on s'ouvre la possibilité de continuer cette extension à condition qu'elle ne soit pas déjà maximale. Le lemme de Zorn garantit que cette construction va aboutir à un point fixe, on va trouver une complétion maximale. Notons la $\mathscr{B}$ cette famille maximale. Ça ne peut qu'être une base, autrement on trouverait un vecteur indépendant des autres, on le rajoute et on augmente la famille libre... c'est pas possible par maximalité. La conclusion suit.

Dès qu'on tombe sur une complétion que l'on ne peut plus augmenter, on a calculé la dimension de $E$ et on saute toutes les autres étapes

Maintenant pour revenir à ta question

Peut-on toujours trouver une norme pour un espace vectoriel ?

La réponse est évidemment... oh que oui ! Je me donne $E$ un espace vectoriel sur un corps $\mathbb K$ valué par $\vert \cdot\vert$. Illico presto je prends volontiers une base $\mathscr{B}$ de $E$.

Je sais que tout vecteur $v$ de $E$ s'écrit de manière unique comme
$$ v = \sum_{b\in\mathscr B} v_b b $$
avec des scalaires $v_b$ presque tous nuls. Je pose alors comme un petit filou
$$ \|v\| = \sum_{b\in\mathscr B} \vert v_b\vert $$
et tada ! Une norme sur $E$

Maintenant, je te laisse voir pourquoi on peut encore définir la norme infinie, ou même une norme euclidienne

Le 21 mai 2019 à 00:53:09 Fuligule a écrit :
Oui : https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_base_incompl%C3%A8te

comme quoi certains kiffent poser les questions à leurs élèves pour ne pas y répondre '-'

C'est une approche moins scolaire que ce dont tu as l'habitude, mais c'est pas absurde. Le prof te pose un exo difficile, il veut voir quels vont être tes réflexes : regarder des cas particuliers, rajouter des hypothèses, traiter des sous-cas, essayer de produire un contre-exemple, raisonner par l'absurde, etc. Il peut y avoir plein de choses pertinentes à dire même si on ne sais pas résoudre entièrement l'exercice. Faut pas se laisser démonter par ça.

Ouais, je veux bien le croire, en prépa on nous faisait des choses comme ça, mais là le prof ne nous aide pas vraiment en TD ... C'est assez frustrant, car on cherche de son côté, chez soi, et quand on pose la question au prof du genre "J'ai pas su trouver la solution, j'ai fais-ci, j'ai fais-ça, j'ai aboutit à rien", ben le prof va se mettre à réfléchir et à faire "Ah ben j'sais pas lol" du coup bon ... x) C'est frustrant car c'est le genre d'exercice j'ai envie d'avoir la réponse quoi haha

Le 21 mai 2019 à 02:37:09 DonDoritos2 a écrit :
Oui tu as besoin de Zoooorn ! Ou du moins de l'axiome du choix k-dépendant avec k le cardinal de ton espace vectoriel, si tu veux découvrir le côté obscur de la force avec les récurrences transfinies

La démonstration est loin d'être terrifiante (sauf si éventuellement tu as l'âme d'un logicien ou d'un constructiviste). Perso je préfère l'approche transfinie, car c'est la plus naturelle, Zorn sert juste de moteur de récurrence (on bypass le schéma de substitution ainsi). Partons de ce qu'on sait en dimension finie. J'ai E de dimension n>0, je commence par piocher un vecteur non nul, il forme une famille libre et si n>1 c'est pas encore générateur, donc je continue. Je choisis un deuxième vecteur qui n'est pas sur la droite engendrée par le premier vecteur. Si n>2 c'est toujours pas générateur, je continue avec un nouveau vecteur indépendant, etc. et je m'arrête au bout de n étapes. Pour la récurrence transfinie c'est la même idée, mais jusqu'où faut il s'arrêter ?

Bah intuitivement on peut pas piocher plus d'éléments qu'il y en a dans E, donc au plus on s'arrête à k = |E| étapes. Mais IR est indénombrable, alors qu'en tant que IR-ev il est de dimension un, donc on peut s'arrêter bien avant. Pour ça il faut arrêter la construction quand c'est générateur et sauter toutes les "étapes restantes". Reste à formaliser ça dans le langage des récursions transfinies et c'est plié. Simple non ?

Au passage il me semble qu'une base de IR sur le corps des rationnels a le continu, comme quoi on peut parcourir autant d'éléments qu'il y en a dans l'ev pour construire une base

Avec Zorn il y a démo sur wikipédia je crois, mais je peux expliquer en détail, en reprenant l'idée de la récurrence transfinie. Puisque Zorn est un outil de théoricien des ensembles pour exécuter de telles machineries.

On suppose que $E$ est non trivial. Prenons $v$ un vecteur non nul. La famille $\{v\}$ est libre. L'idée de la construction, c'est d'étendre de bout en bout cette famille jusqu'à engendrer tout l'espace. Alors il est illusoire de vouloir construire explicitement de telles complétions, ni même d'espérer les ordonner de façon simple pour former une suite croissante (c'est tout l'enjeu de la construction transfinie de faire ceci). C'est là que Zorn intervient :

Tout ensemble non vide et inductif admet un élément maximal

Pour cela on va considérer l'ensemble des complétions libres $\mathscr{L}$ de $\{v\}$ au sens large.
Naturellement on va l'ordonner par l'inclusion, et c'est non vide car $\{v\}$ en fait partie.
Reste à vérifier que c'est inductif, immédiat puisque les chaînes forment des familles filtrantes.
Mais faisons le quand même. Soit $\mathcal C$ une chaîne et on pose $\mathscr{L} = \bigcup \mathcal C$ la réunion de la chaîne. Il s'agit d'une famille libre puisque si on prend $v_1,\ldots,v_n$ dans la réunion et $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ des scalaires de telle sorte que
$$ \lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_n v_n = 0 $$
comme $\mathcal C$ est totalement ordonnée, il y a forcément un élément de la chaîne qui contient tous les $v_i$ en même temps. Un tel élément possède des vecteurs libres, donc les $\lambda_i$ sont nuls.
De plus, $v$ fait partie de chaque élément de la chaîne, a fortiori de la réunion. Ça montre que c'est inductif.

Qu'est-ce que cette étape représente ? La chaîne contient les étapes déjà réalisées au cours de la récurrence transfinie, en construisant un majorant à la chaîne, on s'ouvre la possibilité de continuer cette extension à condition qu'elle ne soit pas déjà maximale. Le lemme de Zorn garantit que cette construction va aboutir à un point fixe, on va trouver une complétion maximale. Notons la $\mathscr{B}$ cette famille maximale. Ça ne peut qu'être une base, autrement on trouverait un vecteur indépendant des autres, on le rajoute et on augmente la famille libre... c'est pas possible par maximalité. La conclusion suit.

Dès qu'on tombe sur une complétion que l'on ne peut plus augmenter, on a calculé la dimension de $E$ et on saute toutes les autres étapes

Maintenant pour revenir à ta question

Peut-on toujours trouver une norme pour un espace vectoriel ?

La réponse est évidemment... oh que oui ! Je me donne $E$ un espace vectoriel sur un corps $\mathbb K$ valué par $\vert \cdot\vert$. Illico presto je prends volontiers une base $\mathscr{B}$ de $E$.

Je sais que tout vecteur $v$ de $E$ s'écrit de manière unique comme
$$ v = \sum_{b\in\mathscr B} v_b b $$
avec des scalaires $v_b$ presque tous nuls. Je pose alors comme un petit filou
$$ \|v\| = \sum_{b\in\mathscr B} \vert v_b\vert $$
et tada ! Une norme sur $E$

Maintenant, je te laisse voir pourquoi on peut encore définir la norme infinie, ou même une norme euclidienne

Et ben, tu as l'air de kiffer l'algèbre linéaire toi, pour me rédiger autant de pavé
J'osais pas tester l'application du lemme de Zorn, car c'est un lemme qui est encore très obscure à mes yeux. C'est le genre de lemme qu'on voit vite fait pour pouvoir démontrer des trucs sympa, du genre tout idéal d'un anneau est inclut dans un idéal maximal, ou encore que tout corps possède une clôture algébrique ... Mais du coup, on voit JAMAIS la démo de ce lemme, qui, comme dit mon prof, "n'est pas difficile, mais pénible".
Bref, la plupart du temps, on se contente de dire "boarf, ça se fait par Zorn" et au final on applique jamais correctement ce foutu lemme

Merci pour votre réponse à tout les deux en tout cas *-*

EDIT: Je me pose une question pendant qu'on y est: pourquoi toujours préciser "Espace vectoriel normé" puisque tout espace vectoriel admet une norme ? C'est ça aussi qui m'avait un peu poussé à répondre "non" à la question ... x)

C'est pour préciser de quelle structure on munit notre espace, et aussi éventuellement pour préciser la notation qu'on emploie pour la norme, histoire que ça sorte pas de nulle part.
Pareil quand on fait de la topologie générale, on dit soit (E,T) un espace topologique blabla... Alors qu'on peut toujours munir un ensemble d'une topologie. Pareil pour un espace probabilisé, ça sert essentiellement à introduire les notations.

D'accord, merci beaucoup !!

La démonstration du lemme de Zorn est technique, tu ne peux pas exiger des tes profs qu'ils la connaissent sur le bout des doigts L'ingrédient principal est le théorème du point fixe de Witt

Soient un ensemble ordonné non vide $(X,\leq)$ et une application ascendante $f : X\to X$, c'est-à-dire telle que $x\leq f(x)$ pour tout $x$ dans $X$. Si toutes les chaînes de $X$ admettent une borne supérieure, alors $f$ admet au moins un point fixe.

Il est pas facile à établir en partant de rien, puisque c'est typiquement le genre d'énoncé où la démonstration est farfelue, elle repose sur le concept de "tours" d'ensembles SpoilAfficherMasquer Pour l'instant prend le comme un lemme technique. Puis avec le soutient de notre cher axiome du choix (et du point fixe de Witt), on va pouvoir montrer le principe de maximalité de Hausdorff :

Dans un ensemble ordonné non vide, toute chaîne est incluse dans une chaîne maximale.

À partir de là, le lemme de Zorn vient tout seul ! a+