Salut,
Ça fait 4-5 jours que je bloque sur un exercice des imo 1996. J'ai pas trouvé de correction potable, ni dans des livres ni sur internet, j'espère donc que ce forum pourra m'aider
L'énoncé est le suivant :
Trouver toutes les fonctions f : N -> N telles que
f(m + f(n)) = f(f(m)) + f(n) pour tous n, m € N

Si quelqu'un pourrais m'aider/me donner une correction, je lui en serais infiniment reconnaissant

Bah déjà la fonction nulle et l'identité
Pour le reste, faut regarder comment les autres solutions diffèrent de l'identité.
Essaies de montrer que les solutions sont périodiques

edit : plutôt si f est solution f - Id est périodique

Le 11 mai 2019 à 18:31:53 DonDoritos_ a écrit :
Bah déjà la fonction nulle et l'identité
Pour le reste, faut regarder comment les autres solutions diffèrent de l'identité.
Essaies de montrer que les solutions sont périodiques

edit : plutôt si f est solution f - Id est périodique

Merci je vais essayer
Au passage, si t'as une quelconque correction de ce problème je suis preneur !

Je peux te rédiger ça mais essaies d'y réfléchir de ton côté avant

Le 11 mai 2019 à 18:44:48 DonDoritos_ a écrit :
Je peux te rédiger ça mais essaies d'y réfléchir de ton côté avant

Bon, je relève le défi, ne m'en dit pas plus

Voici des questions pour te guider

On note $\mathscr{F}$ l'ensemble des points fixes de $f$.

1. Vérifies que 0 est un point fixe de $f$.
2. Montres que $\mathscr{F}$ est stable par addition.
3. Établis qu'il existe un entier $n_0$ (minimal) tel que $\mathscr{F} = n_0\mathbb{N}$ (tout point fixe est un multiple de $n_0$ et vice versa), pour cela distingues le cas trivial et utilises la division euclidienne.
4. Vérifies ensuite que
$$ f(n) - n = f(n\operatorname{mod} n_0) - n\operatorname{mod} n_0 $$
5. Conclus

D'accord, je vais commencer comme ça (ça n'a Jamais traversé mon esprit ). Merci à toi pour tes multiples aides sur mes différents topics

Le 11 mai 2019 à 22:29:32 DonDoritos_ a écrit :
Voici des questions pour te guider

On note $\mathscr{F}$ l'ensemble des points fixes de $f$.

1. Vérifies que 0 est un point fixe de $f$.
2. Montres que $\mathscr{F}$ est stable par addition.
3. Établis qu'il existe un entier $n_0$ (minimal) tel que $\mathscr{F} = n_0\mathbb{N}$ (tout point fixe est un multiple de $n_0$ et vice versa), pour cela distingues le cas trivial et utilises la division euclidienne.
4. Vérifies ensuite que
$$ f(n) - n = f(n\operatorname{mod} n_0) - n\operatorname{mod} n_0 $$
5. Conclus

va falloir réviser l'impératif