Bonjour tout le monde
J'ai cet exercice de probabilité et je bloque dès la question 1 pour montrer que P(Yn=0).

J'ai commencé en faisant
P(Yn=0) = P(U X_i = 0) = P(X1=0) + ... + P(Xn=0) = n*(1-2p)
Mais bien sûr ça ne fonctionne pas. Auriez-vous une piste svp.

Merci

Ta formule est fausse.
Tes évènements sont indépendants, pas disjoints !

Pour cette question, une simple démonstration par récurrence suffira, avec P(Y_n = 0) = P(U X_i = 0). Pour n = 1, c'est direct. Dans le cas général, tu as la probabilité d'une union. Tu poses A = U X_i, l'union allant jusqu'à n, et B = X_n+1. En utilisant la formule bien connue pour P(A U B), tu devrais pouvoir trouver le résultat.

Le 23 avril 2019 à 17:24:05 Quiquine2 a écrit :
Ta formule est fausse.
Tes évènements sont indépendants, pas disjoints !

Pour cette question, une simple démonstration par récurrence suffira, avec P(Y_n = 0) = P(U X_i = 0). Pour n = 1, c'est direct. Dans le cas général, tu as la probabilité d'une union. Tu poses A = U X_i, l'union allant jusqu'à n, et B = X_n+1. En utilisant la formule bien connue pour P(A U B), tu devrais pouvoir trouver le résultat.

Merci à toi.
Donc ce que je cherche à calculer c'est P(A U B = 0). On est d'accord que P(AnB) n'est pas vide ?
Donc ce que j'ai fait :
P(A=0) + P(B=0) - P (AnB = 0) = P(A = 0) + P(B = 0) - P(AnB = 0) = P (U Xk = 0) + P(X_n+1 = 0) - (P (U Xk = 0)*P(X_n+1 = 0)) = 2 * (1-(2p)^n) - (1-(2p)^n)²

Sauf qu'à la fin ça me donne pas le bon résultat, à moins que j'ai fait une erreur

Pas besoin de récurrence.
P(Y_n = 0) = P(au moins l'un des X_i est nul) = 1 - P(tous les X_i sont non nuls) = 1 - P(X_1 non nul)^n = 1 - (2p)^n.

Le 23 avril 2019 à 18:35:44 Prauron a écrit :
Pas besoin de récurrence.
P(Y_n = 0) = P(au moins l'un des X_i est nul) = 1 - P(tous les X_i sont non nuls) = 1 - P(X_1 non nul)^n = 1 - (2p)^n.

Merci Prauron, j'avais mis une union à la place d'une intersection, c'est pour ça que ça marchait pas

Sinon pour la 3) je ne vois pas comment faire

La convergence en loi revient à la convergence ponctuelle des fonctions caractéristiques. Pour la convergence dans L2, reviens simplement à la définition, et utilise la question 2.

Le 23 avril 2019 à 20:38:44 Prauron a écrit :
La convergence en loi revient à la convergence ponctuelle des fonctions caractéristiques. Pour la convergence dans L2, reviens simplement à la définition, et utilise la question 2.

Merci pour ton aide. En cours on a pas fait d'exercices là-dessus donc désolé si je galère un peu

Déjà pour la 2), j'ai trouvé 2p-2p²-2p²(-1)^n
En gros j'ai fait :
Var(Yn)=Var(produit Xk) = Var((X1)^n) = E((X1)^2n) - E(X1^n)² = p + p - (p+p(-1)^n)²

Donc pour la 3 je cherche à montrer que lim E(f(Yn)) = E(f(Y)) avec f continue bornée, mais je vois vraiment pas

Alors le produit des variance c'est pas la variance du produit, donc ça marche pas.
Si tu reviens à la définition, Var(Y_n) = E(Y_n^2) - E(Y_n)^2.
Comme les X_i sont i.i.d, E(Y_n) = (E(X_1))^n = 0.
Avec la question 1, on voit que Y_n^2 vaut 1 avec proba (2p)^n et 0 avec proba 1 - (2p)^n. Donc E(Y_n^2) = (2p)^n. Donc Var(Y_n) = (2p)^n.
Au passage, E[(Y_n - 0)^2] = E(Y_n^2) = (2p)^n tend vers 0 quand n tend vers l'infini, ce qui montre la convergence L2 vers 0.

Pour la convergence en loi, utilise plutôt les fonctions caractéristiques. Tu trouves quoi pour phi_n ?

Le 24 avril 2019 à 18:00:41 Prauron a écrit :
Alors le produit des variance c'est pas la variance du produit, donc ça marche pas.
Si tu reviens à la définition, Var(Y_n) = E(Y_n^2) - E(Y_n)^2.
Comme les X_i sont i.i.d, E(Y_n) = (E(X_1))^n = 0.
Avec la question 1, on voit que Y_n^2 vaut 1 avec proba (2p)^n et 0 avec proba 1 - (2p)^n. Donc E(Y_n^2) = (2p)^n. Donc Var(Y_n) = (2p)^n.
Au passage, E[(Y_n - 0)^2] = E(Y_n^2) = (2p)^n tend vers 0 quand n tend vers l'infini, ce qui montre la convergence L2 vers 0.

Pour la convergence en loi, utilise plutôt les fonctions caractéristiques. Tu trouves quoi pour phi_n ?

Merci beaucoup, c'est déjà plus clair pour moi
Par contre d'où vient le 0 : E[(Y_n - 0)^2] = E(Y_n^2) ?

Pour la fonction caractéristique je me suis arrêté là : http://sketchtoy.com/68931371
Je pense que je suis parti un peu loin

Le 0 c'est la limite dans L2. C'est la variable aléatoire qui vaut presque sûrement 0. Vu que la moyenne de Y_n est nulle et que sa variance tend vers 0, 0 est un bon candidat pour être la limite.

Attention, Y_n est une variable aléatoire réelle, c'est pas un vecteur aléatoire. phi_n est une fonction d'une seule variable. Mais ne reviens pas aux X_i, utilise la question 1, Y_n est une variable aléatoire très simple qui ne prend que 3 valeurs et tu as les probas.

Le 24 avril 2019 à 18:53:52 Prauron a écrit :
Le 0 c'est la limite dans L2. C'est la variable aléatoire qui vaut presque sûrement 0. Vu que la moyenne de Y_n est nulle et que sa variance tend vers 0, 0 est un bon candidat pour être la limite.

Attention, Y_n est une variable aléatoire réelle, c'est pas un vecteur aléatoire. phi_n est une fonction d'une seule variable. Mais ne reviens pas aux X_i, utilise la question 1, Y_n est une variable aléatoire très simple qui ne prend que 3 valeurs et tu as les probas.

Pourtant dans mon cours on a défini la fonction caractéristique comme ça.
Si X est une va sur (oméga, A, IP) à valeurs dans R^d, alors la fonction caractéristique est phi_X(t) = E[e^(i<t|X>)].

J'ai beau chercher, je ne vois pas le lien entre les probas de la question 1) et la formule de la fonction caractéristique.

Mais ici d=1, donc ton produit scalaire c'est juste un produit et t est un réel.

Le 24 avril 2019 à 20:07:00 Prauron a écrit :
Mais ici d=1, donc ton produit scalaire c'est juste un produit et t est un réel.

honnêtement j'ai aucune idée de comment faire en utilisant la question 1

phi_n(t) = E[exp(itY_n)] = exp(-it)*P(Y_n = -1) + exp(0it)*P(Y_n = 0) + exp(it)*P(Y_n = 1)