Bonjour

Exercice 1 : Déterminer toutes les fonctions telles que l'intégrale de a à b de f vale (b-a)sup(abs(f))
J'ai déterminer qu'il s'agissait des fonctions constantes mais constantes positive car (b-a) sup (abs(f)) est positif et si f est constante et négative alors son intégrale l'est aussi, ce qui est contradictoire.
Pourtant dans la correction il ne précise pas "constante et positive".
http://gery.huvent.pagesperso-orange.fr/pdfbaggio/exosptsi/integration.pdf
Est-ce un oubli de leur part ou est-ce que je me trompe ?

Exercice 22.55 du PDF Déterminer toutes les fonctions telles que $\int_{-a}^{-b}f(t)dt=-\int_{a}^{b}f(t)dt$ pour tout couples de réels (a,b). Si je comprends la correction il y a une chose qui me chiffone :
On fixe a=0 et on prend b quelconque pour montrer que de telles fonctions sont paires.
Cependant dans la correction ils affirment en solution finale que toutes les fonctions qui vérifient la relation sont paires. J'ai un problème car pour moi on a traité un cas particulier et on n'a pas prit un a quelconque. On a pris a=0, ce qui "centre" l'intégrale en 0. Mais il faut aussi traiter le cas ou a différent de 0. Quelqu'un peut-il m'expliquer comment ils passent du cas particulier au cas général ? . D'autant plus que si f non centré en 0 on parlerait davantage de centre de symétrie que de fonctions paires

Comment montre-t'on que seules les fonctions affines sont convexes et concaves d'ailleurs ?

Pour mes premières question en y repensant, on obtient une condition nécessaire mais non suffisante en fixant une valeur de a. Pour moi on doit faire une réciproque non ?

Même chose pour l'exercice 22.56 pour illustrer : la correction pose v=-u/2 pour déterminer que f est constante Donc v=-u/2 implique f constante. Mais on veut établir cela pour tout coupkle (u,v). Il faut montrer que réciproquement que f constante est la seule solution ?

NB : désolé pour les multipost mais délai de modifications expirés