Bonjour/Bonsoir, je sèche sur le problème suivant qui est une version simplifié d'une preuve possible du problème de Bâle, il m'est demandé d'étabir cette identité :

J'ai d'abord essayé en considérant le terme de droite comme une polynôme sous forme factorisé d'interpoler de façon triviale pour appliquer le théorème de rigidité mais ça n'a rien donné, ensuite j'ai essayé d'appliquer une interpolation de Lagrange mais ça n'a rien donné non plus. Et pour finir j'ai essayé de partir du polynôme de Tchebycheff pour me ramener au membre de droite ou de transformer le membre de gauche avec l'identité du binôme de Newton et une factorisation classique mais je ne suis arrivé à rien.
Avez vous une ou plusieurs pistes à me donner pour pouvoir établir cette identité ?
Merci d'avance

Est-ce qu'il m'est possible d'établir cette identité avec mes maigres outils d'analyse déjà ? Car dans ce poly il est déjà arrivé que des connaissance hp soient nécessaires pour pouvoir démontrer au moins une identité

L'idée c'est de trouver les racines complexes du polynôme (Z+i)^n - (Z-i)^n
On veut donc [(z+i)/(z-i)]^n = 1 et donc (z+i)/(z-i) est une racine n-ième de l'unité donc de la forme exp(2ipik/n).
A partir de là tu isoles z et tu fais apparaître les formules d'Euler de cos et sin pour faire apparaître du cotan.

Le 17 avril 2019 à 21:49:49 Sureminence a écrit :
L'idée c'est de trouver les racines complexes du polynôme (Z+i)^n - (Z-i)^n
On veut donc [(z+i)/(z-i)]^n = 1 et donc (z+i)/(z-i) est une racine n-ième de l'unité donc de la forme exp(2ipik/n).
A partir de là tu isoles z et tu fais apparaître les formules d'Euler de cos et sin pour faire apparaître du cotan.

Bien vu ! Merci beaucoup je vais essayer de faire ça proprement

C'est la 3e methode de ce pdf mais je sais pas si ça t'aidera vu que t'es en terminale
https://www.maths-france.fr/MathSpe/GrandsClassiquesDeConcours/SeriesNumeriques/ZetaDe2.pdf

Le 17 avril 2019 à 22:02:56 TheLelouch a écrit :
C'est la 3e methode de ce pdf mais je sais pas si ça t'aidera vu que t'es en terminale
https://www.maths-france.fr/MathSpe/GrandsClassiquesDeConcours/SeriesNumeriques/ZetaDe2.pdf

En fait c'est pas tout à fait la même je crois