Bonjour, simple question: un sous espace vectoriel F de E est de dimiension nul <=> F = {0_E} ?
C'est surtout le sens de l'implication 1 vers 2 qui me taraude. Si dim F = 0 alors F={0_E} ? (Oui logiquement :surtout que sur wiki "un espace nul admet comme unique élément son vecteur nul")

D'ailleurs ça m'amène à une question sur les dimensions. Le vecteur nul, l'élément neutre (d'ailleurs je préfère l'appeler élément neutre pour pas me mélanger les pinceaux avec le vecteur nul n-uplet qu'on nous a inculqué durant tout le lycée comme étant (0,...0) ) est considéré comme un élément à part entière comme tout autre vecteur ou non?

C'est bizarre car les définitions qu'on donne en cours son parfois circulaire: on définit formellement la dimension d un espace comme étant le cardinal d'une de ses bases. Mais la famille { (0_E) } est de cardinal 1 (génératrice et libre de 0_E) si on considère l'élément neutre comme un vecteur

Enfin, vous auriez des conseils pour voir autrement les choses ? La vision des espaces vectoriels que j'ai actuellement est parasitée par la vision qu'on nous a donné des dimensions durant le lycée: des coordonnées spatiales, un n-uplet de scalaire formant un vecteur ... je veux m'en émanciper afin de mieux appréhender les exos les problèmes sûrement
Cimer!

La famille (O_E) n'est pas une base de {O_E} vu qu'elle n'est pas libre.

La seule base de ton singleton zéro c'est la famille vide () ! (qui provient probablement du fait qu'une somme vide fait 0 mais il faudrait que tu cherches par toi même)

Pour un espace de dimension finie, puisqu'il est toujours isomorphe à R^(dimension) tu peux toujours avoir une vision géométrique ou avec des n-uplets c'est pas forcément un mal.

Ah oui bien vu, la famille n'est pas libre
Sinon, pour équivalence, elle est vérifiée?

Une base d'un espace vectoriel est une famille $\mathscr{B} = (b_i)_{i\in I}$ de vecteurs qui est libre et génératrice. La dimension d'un espace est le cardinal de $I$ et c'est un invariant (qui ne dépend pas de la base choisie). Si $E = \{0\}$ alors comme $E = \langle \varnothing\rangle$ c'est de dimension zéro. Par vacuité, une famille vide est toujours libre (je te laisse voir pourquoi). Inversement, si $E$ est de dimension zéro, toute base se doit d'avoir aucun vecteur générateur non nul. Si $E$ n'était pas réduit à zéro, alors on aurait un vecteur non nul qui forme à lui-seul une famille libre. Dans ce cas on complète cette famille en une base de $E$ qui contient au moins un vecteur générateur non nul c'est impossible !

Il y a bien équivalence

(d'ailleurs je préfère l'appeler élément neutre pour pas me mélanger les pinceaux avec le vecteur nul n-uplet qu'on nous a inculqué durant tout le lycée comme étant (0,...0) )

Il n'y a pas de risque à ce niveau là, et c'est justement pour ça qu'on utilise le même mot : c'est bel et bien la même chose. Le vecteur (0,...,0) du lycée est bien l'élément neutre de R^n en tant qu'espace vectoriel. Réciproquement, si tu as un espace vectoriel E de neutre e, et que tu prends n'importe quelle base de E, les coordonnées de e dans cette base seront (0,...,0).

La vision des espaces vectoriels que j'ai actuellement est parasitée par la vision qu'on nous a donné des dimensions durant le lycée: des coordonnées spatiales, un n-uplet de scalaire formant un vecteur ... je veux m'en émanciper afin de mieux appréhender les exos les problèmes sûrement

C'est au contraire très bien de garder l'intuition du lycée pour appréhender les notions plus abstraites. Ce qu'il faut faire c'est te convaincre que c'est qu'on parle bel et bien de la même chose que les vecteurs du lycée.

Ça deviendra de plus en plus clair quand tu verras plus en profondeur la notion de base : tu verras qu'on se fiche complètement de savoir si un vecteur est un n-uplet, une fonction, un polynôme, ou une suite ; puisque dès qu'on a une base on peut simplement manipuler les coordonnées du vecteur dans sa base, et tous les cas se ramènent à celui des n-uplets.
Si on te dit espace vectoriel de dimension 3, il faut visualiser R^3 dans ta tête. C'est la bonne image.

Le 14 avril 2019 à 12:48:21 Fuligule a écrit :

(d'ailleurs je préfère l'appeler élément neutre pour pas me mélanger les pinceaux avec le vecteur nul n-uplet qu'on nous a inculqué durant tout le lycée comme étant (0,...0) )

Il n'y a pas de risque à ce niveau là, et c'est justement pour ça qu'on utilise le même mot : c'est bel et bien la même chose. Le vecteur (0,...,0) du lycée est bien l'élément neutre de R^n en tant qu'espace vectoriel. Réciproquement, si tu as un espace vectoriel E de neutre e, et que tu prends n'importe quelle base de E, les coordonnées de e dans cette base seront (0,...,0).

Oula chef, justement c'est la où j'ai le plus de risquer de mélanger les objets
On travail dans E qui N'EST PAS R^n du coup le n-uplets coordonnées est un scalaire représentant les scalaires de la décomposition en combinaison linéaire du vecteur x de E dans la base de E. Or si E=R^n, un n-uplet va être un vecteur ... Donc, ça n'a pas grand chose à voir... peut-être qu'effectivement comme la signaler un clé plus haut, on peut y associer l'application lineaire isomorphe de E dans R^n : on aura pour chaque vecteur x de E un vecteur n-uplet dans R^n qui représente alors les coordonnées de x dans la base de E
Bon je me dis qu'avec le temps je me familiariserai bisn avec ces notions.
Merci a tous au passage !

Le 14 avril 2019 à 13:14:55 Zluuz a écrit :

Le 14 avril 2019 à 12:48:21 Fuligule a écrit :

(d'ailleurs je préfère l'appeler élément neutre pour pas me mélanger les pinceaux avec le vecteur nul n-uplet qu'on nous a inculqué durant tout le lycée comme étant (0,...0) )

Il n'y a pas de risque à ce niveau là, et c'est justement pour ça qu'on utilise le même mot : c'est bel et bien la même chose. Le vecteur (0,...,0) du lycée est bien l'élément neutre de R^n en tant qu'espace vectoriel. Réciproquement, si tu as un espace vectoriel E de neutre e, et que tu prends n'importe quelle base de E, les coordonnées de e dans cette base seront (0,...,0).

Oula chef, justement c'est la où j'ai le plus de risquer de mélanger les objets
On travail dans E qui N'EST PAS R^n du coup le n-uplets coordonnées est un scalaire représentant les scalaires de la décomposition en combinaison linéaire du vecteur x de E dans la base de E. Or si E=R^n, un n-uplet va être un vecteur ... Donc, ça n'a pas grand chose à voir... peut-être qu'effectivement comme la signaler un clé plus haut, on peut y associer l'application lineaire isomorphe de E dans R^n : on aura pour chaque vecteur x de E un vecteur n-uplet dans R^n qui représente alors les coordonnées de x dans la base de E
Bon je me dis qu'avec le temps je me familiariserai bisn avec ces notions.
Merci a tous au passage !

Franchement il y a aucun risque de mélanger les objets Dans IR^n une colonne peut avoir plusieurs interprétations qui sont pratiques pour raisonner selon la nature du problème, mais ce n'est aucunement une source de confusion. Puis identifier E de dimension n, avec une base donnée, à IR^n avec sa base canonique c'est juste beaucoup plus pratique car on passe de quelque chose de compliqué et abstrait à quelque chose de plus "commun" et facile à interpréter

Ok VDD, donc souvent dans les espaces vectoriel, on raisonne avec l'application associée dans R^n pour mieux "voir" les choses c'est ça ?

Le 14 avril 2019 à 13:14:55 Zluuz a écrit :

Le 14 avril 2019 à 12:48:21 Fuligule a écrit :

(d'ailleurs je préfère l'appeler élément neutre pour pas me mélanger les pinceaux avec le vecteur nul n-uplet qu'on nous a inculqué durant tout le lycée comme étant (0,...0) )

Il n'y a pas de risque à ce niveau là, et c'est justement pour ça qu'on utilise le même mot : c'est bel et bien la même chose. Le vecteur (0,...,0) du lycée est bien l'élément neutre de R^n en tant qu'espace vectoriel. Réciproquement, si tu as un espace vectoriel E de neutre e, et que tu prends n'importe quelle base de E, les coordonnées de e dans cette base seront (0,...,0).

Oula chef, justement c'est la où j'ai le plus de risquer de mélanger les objets
On travail dans E qui N'EST PAS R^n du coup le n-uplets coordonnées est un scalaire représentant les scalaires de la décomposition en combinaison linéaire du vecteur x de E dans la base de E. Or si E=R^n, un n-uplet va être un vecteur ... Donc, ça n'a pas grand chose à voir... peut-être qu'effectivement comme la signaler un clé plus haut, on peut y associer l'application lineaire isomorphe de E dans R^n : on aura pour chaque vecteur x de E un vecteur n-uplet dans R^n qui représente alors les coordonnées de x dans la base de E
Bon je me dis qu'avec le temps je me familiariserai bisn avec ces notions.
Merci a tous au passage !

Je vois mal comment un n-uplet pourrait être un scalaire, un scalaire c'est usuellement un élément de R ou C
Ecrire v = somme des v_i * e_i avec v_i des scalaires et (e_1, ... , e_n) ta base ou écrire v = (v1, .... vn) en soit ça revient au même tout est une question d'identification. Après tu fais comme tu veux si t'as un exo le principal c'est que tu comprennes ce que tu fais et ce qu'il se passe.

un espace vectoriel E de dimension n est canoniquement isomorphe à R^n donc à partir de là, tu peux tous les visualiser comme R^n

Le 14 avril 2019 à 16:20:55 Djeckt a écrit :
un espace vectoriel E de dimension n est canoniquement isomorphe à R^n donc à partir de là, tu peux tous les visualiser comme R^n

Canoniquement certainement pas et encore moins si on considère autre chose qu'un R ev

Ca veut dire quoi canoniquement isomorphe ?

Le 14 avril 2019 à 17:30:27 the_ff3_fan a écrit :
Ca veut dire quoi canoniquement isomorphe ?

Indépendant d'un choix de base ; comme un ev de dimension finie et son bi-dual.

Le 14 avril 2019 à 17:37:26 Sureminence a écrit :

Le 14 avril 2019 à 17:30:27 the_ff3_fan a écrit :
Ca veut dire quoi canoniquement isomorphe ?

Indépendant d'un choix de base ; comme un ev de dimension finie et son bi-dual.

Pour moi "canonique" ça veut dire "naturel", "logique (au sens commun)". Genre la "base canonique" c'est la base la plus naturelle qu'il soit de choisir.

Indépendant du choix d'une base je dirais plutôt "intrinsèque"

Non mais c'est pas mon vocabulaire à moi Quand on (sous entendu les mathématiciens) parle d'isomorphisme canonique on parle d'un isomorphisme naturel qui est donné sans avoir à fixer de base. D'ailleurs je vois pas quel autre sens tu pourrais donner à isomorphisme canonique.

Je ne crois pas qu'il existe de définition formelle du mot "canonique" en mathématiques, et il s'utilise dans bien d'autres contextes que les espaces vectoriels donc ce n'est pas seulement une histoire de base.

Wikipédia dit ça :
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Canonical_map

Nlab dit ça :
The definition of a single function or operation is “canonical” if there are “no arbitrary choices” involved in it, or more precisely if the end result is independent of any arbitrary choices that we had to make in defining it.
(https://ncatlab.org/nlab/show/unnatural+isomorphism#natural_canonical_and_functorial )
La deuxième partie de la phrase correspond au "indépendant du choix de la base" dans le cas present.

Perso je dirais effectivement pas qu'on a un isomorphisme canonique entre un ev quelconque et R^n. Si on parle d'un espace vectoriel muni d'une base, là je serais d'accord que l'isomorphisme est canonique.
Mais surtout c'est vraiment de l'enculage de mouches d'avoir relevé ce détail étant donné que tout le monde avait très bien compris de quoi on parlait.

Le 14 avril 2019 à 15:12:30 Polyphemee a écrit :

Le 14 avril 2019 à 13:14:55 Zluuz a écrit :

Le 14 avril 2019 à 12:48:21 Fuligule a écrit :

(d'ailleurs je préfère l'appeler élément neutre pour pas me mélanger les pinceaux avec le vecteur nul n-uplet qu'on nous a inculqué durant tout le lycée comme étant (0,...0) )

Il n'y a pas de risque à ce niveau là, et c'est justement pour ça qu'on utilise le même mot : c'est bel et bien la même chose. Le vecteur (0,...,0) du lycée est bien l'élément neutre de R^n en tant qu'espace vectoriel. Réciproquement, si tu as un espace vectoriel E de neutre e, et que tu prends n'importe quelle base de E, les coordonnées de e dans cette base seront (0,...,0).

Oula chef, justement c'est la où j'ai le plus de risquer de mélanger les objets
On travail dans E qui N'EST PAS R^n du coup le n-uplets coordonnées est un scalaire représentant les scalaires de la décomposition en combinaison linéaire du vecteur x de E dans la base de E. Or si E=R^n, un n-uplet va être un vecteur ... Donc, ça n'a pas grand chose à voir... peut-être qu'effectivement comme la signaler un clé plus haut, on peut y associer l'application lineaire isomorphe de E dans R^n : on aura pour chaque vecteur x de E un vecteur n-uplet dans R^n qui représente alors les coordonnées de x dans la base de E
Bon je me dis qu'avec le temps je me familiariserai bisn avec ces notions.
Merci a tous au passage !

Je vois mal comment un n-uplet pourrait être un scalaire, un scalaire c'est usuellement un élément de R ou C
Ecrire v = somme des v_i * e_i avec v_i des scalaires et (e_1, ... , e_n) ta base ou écrire v = (v1, .... vn) en soit ça revient au même tout est une question d'identification. Après tu fais comme tu veux si t'as un exo le principal c'est que tu comprennes ce que tu fais et ce qu'il se passe.

Ok dans ce cas, v=(v1,....,vn) est appelé matrice des coordonnées de v dans la base (e1,..,e_n).
Comme tu l'as dis, je m'adapterai à l'exo.
Merci à tous

Canonique = qui ne dépend pas de choix (dans la plupart des cas)
= qui a une forme privilégié (comme la forme canonique d'une équation du 2nd degré)
= qui survient naturellement (à relier à la 1 du coup)

et peut être d'autres signification que je ne connais pas.