En révisant un peu les systèmes différentiels je me suis rendu compte que la majorité du temps les coefficients étaient constant, donc on pouvait faire la technique classique.

Mais parfois le système est pas à coefficient constant, mais on peut quand même appliquer la technique usuelle (cad diagonaliser la matrice des coefficients pour découpler le système quand c'est possible) si les vecteurs propres sont indépendants de la variable bien que les valeurs propres, elles, ne soient pas fixes, mais j'ai un peu de mal à voir pourquoi : je peux constater que ça marche mais je sens pas trop comment et pourquoi ça marche quand même.

Les solutions à l'équation différentielle
$$ x'(t)= A(t)x(t) \:\:\text{ avec }\:\: A : I\to \mathbb R^{n\times n} \text{ continue} $$
sont toutes de la forme suivantes :
$$ x(t) = \exp\left(\int_{t_0}^t A(s)\,\mathrm ds\right) x_0 \:\text{ avec }\: x_0 \in \mathbb R^n, t_0\in I$$
S'il existe $P$ une matrice de passage commune à tout instant $t$, tu as
$$ A(t) = PD(t)P^{-1} $$
les matrices $P$ et $P^{-1}$ sont constantes et peuvent alors sortir de l'intégrale, puis de l'exponentielle, ainsi :
$$x(t) = P\exp\left(\int_{t_0}^t D(s)\,\mathrm ds\right) P^{-1} x_0$$