Bonjour

J’ai récemment vu 3 modes de convergence en cours : convergence simple, convergence en moyenne quadratique ( L2 ) et convergence uniforme.

Je pense avoir compris la CS et la CU mais pas vraiment la CL2.
J’ai plusieurs questions :

1) J’imagine qu’on a besoin de celle-ci ( notamment dans l’etude des séries de Fourier ) car on travaille avec des produits scalaires de fonctions qui font intervenir des intégrales. Si c’est pas ça, alors quelle est la raison ?

2) Je me demande ça car mon prof a dit que la CL2 n’implique ni la CS ni la CU or ce sont ces deux modes de convergence qui permettent de vérifier si la série de Fourier d’une fonction approche bien cette fonction.

J’arrive à visualiser pourquoi la CL2 n’implique pas la CS ( admettons qu’on ait la suite de fonction sn(x) = n si x = 1 et 0 sinon, elle ne convergence pas simplement car en x = 1 la limite vaut + inf, mais elle converge en moyenne quadratique car l’integrale sur tout le domaine réel vaut 0 )

Cependant, je ne comprends pas pourquoi la CS n’implique pas la CL2.

La CL2 peut être visualisée par une sorte d’aire entre la suite de fonctions ( sn(x) ) et la fonction qui est la limite (S(x)).
Si on a CS ça veut dire que pour tout x du domaine on a abs(S(x)-sn(x)) -> 0 donc que l’aire entre les deux tend vers 0 aussi non ?

Je suis sûrement complètement à côté de la plaque donc je vous remercie d’avance pour vos explications !

Bonne journée

Si tu veux un exemple de suite de fonctions qui converge dans L^2 mais pas presque surement tu peux imaginer une suite de fonctions sur [0,1] comme ça :
f_0 = 1 sur [0,1]

f_1 = 1 sur [0, 1/2] et 0 sur ]1/2 ,1]
f_2 = 0 sur [0, 1/2] et 1 sur ]1/2 ,1]

f_3 = 1 sur [0, 1/4] et 0 sur ]1/4 ,1]
f_4 = 1 sur ]1/4, 2/4] et 0 sur le reste
f_5 = 1 sur ]2/4, 3/4] et 0 sur le reste
f_6 = 1 sur ]3/4,1] et 0 sur le reste

Fais un dessin pour te convaincre, tu verras que les aires sous la courbe tendent vers 0 mais la fonction tend vers 0 en aucun point puisque si on attend suffisamment longtemps on a un créneau qui va repasser par un point donné.

Il ne faut pas oublier aussi qu'une convergence L^2 est toujours définie pour une classe de fonctions ; si tu changes ta fonction sur un nombre dénombrable de points tu ne modifies pas sa convergence dans L^2.

D'autre part, tu as le théorème de Riesz-Fisher qui te dit que si tu as une convergence L^2 alors tu as une sous suite qui converge presque surement (tu peux essayer de retrouver une telle sous suite sur l'exemple que je t'ai donné pour bien comprendre).

L'intérêt de la convergence L^2 c'est qu'on l'a toujours pour les séries de Fourier (avec Parseval si tu veux) alors que la convergence simple n'est pas toujours présente.

Merci beaucoup pour ta réponse !

En fait c’etait surtout l’inverse qui me dérangeait c’est à dire : Si on a CS pourquoi n’aurait on pas CL2 ?

Et sinon pour l’interet de la convergence L2 : c’est ça que je comprends pas. Tu dis qu’on l’a toujours avec les séries de Fourier mais on a pas nécessairement la convergence simple.
Mais alors pourquoi on l’utilise si le but premier est d’approcher la fonction par sa série de Fourier, si elle ne converge pas simplement alors elle est inutile non ?

Bah non, il y a plusieurs types de convergence et chacune a des utilités ; pleins de mathématiciens te diront que convergence simple c'est nul et qu'ils veulent convergence uniforme En physique on peut se satisfaire d'une convergence L^2.

Lorsqu'on a fait la théorie des Hilbert (Bessel, Parseval) on est content de l'appliquer à l'espace des fonctions périodiques et continues pour obtenir une convergence L^2 "automatique". Sinon on peut aussi dire que les séries de Fourier servent rien et qu'il faudrait plutôt considérer leur moyenne de Cesaro qui converge uniformément

Tu peux considérer f_n(x) = n - xn^3 sur ]0,1/n^2] et 0 sur [1/n^2;1[ (c'est une droite qui va de (0,n) à (1/n^2,0) puis 0 ensuite), elle converge simplement vers 0 sur ]0,1[ mais elle converge pas L^1 donc encore moins L^2.

Je vois merci beaucoup

Je pensais que c’etait unquement les convergences simples et uniformes qui étaient intéressantes et que la convergence L² n’avait pas d’utilité

Merci encore !