Je ne vous demande pas de faire les exercices pour moi mais juste une aide.
Pour tous ces exercices je ne sais pas du tout par où commencer donc si vous pouvez m'aider ça serait gentil. Merci d'avance. Guidez-moi juste, les calculs je les ferais moi-même, je vous juste une guide pour savoir par où commencer mais sinon les calculs je vais les faire moi-mêmes

Exercice 1 :
Soit V le sous-espace vectoriel de RR4 engendré par les vecteurs
v1 = (5,2,5,-1) , v2 = (3,-6,-2,-4).
La dimension de V est 2.

Trouver 2 nouveaux vecteurs v3,v4 dans RR4 tels que :

Aucun de vos vecteurs n'appartient à V.
Les vecteurs sont à coefficients entiers.
Les vecteurs {v3,v4} sont linéairement indépendants.
Les vecteurs {v1,v2,v3,v4} engendrent un sous-espace vectoriel de dimension 3 dans RR4.

Exercice 2:
Soit E l'espace vectoriel des polynômes de degré ≤2 d'une variable X, et soit S le sous-espace vectoriel de E formé des polynômes P(X) tels que
P(7) = 0.

Trouver une base de S.

Exercice 3:

Soit E l'espace vectoriel des polynômes d'une variable X et de degré inférieur à 2 et soit S le sous-espace vectoriel de E formé des polynômes P(X) tels que
∫ de -1 à 2 P(x)dx=0 .

Trouver une base de S.

Exercice 4:
Soit E l'espace vectoriel des polynômes d'une variable X et de degré inférieur à 2 et soit S le sous-espace vectoriel de E formé des polynômes P(X) tels que
P ′(−3)=0. P' = dérivée de P

Trouver une base de S.

Exercice 5:
Soit E l'espace vectoriel des polynômes d'une variable X et de degré inférieur à 2 et soit S le sous-espace vectoriel de E formé des polynômes P(X) tels que
∫ integrale 0 à 3 P(x)dx=0 .

Trouver une base de S.

Je vous remercie d'avance pour votre aide

Moi aussi je suis en train de traiter la partie sur l'algèbre linéaire, j'suis pas un expert, mais ça entraîne alors pourquoi pas t'aider. Puis si je dis n'importe quoi des gens un peu plus forts viendront me corriger

Déjà l'exo 1 j'ai pas envie d'y réfléchir pour l'instant, il est minuit et quelques, flemme . Je reviendrai dessus quand je serai plus en forme.

Exo2: Tu es bien d'accord avec moi quand je dis que la forme des polynômes de E est aX^2+bX+c? Car on a des polynômes de degré inf ou égal à 2.

Bien. A partir de là, on s'intéresse aux propriétés des polynômes de S.
P(7)=0. Je sais pas si tu as fait le cours sur les polynômes mais si on a P(X) dans R[X], et que alpha est une racine de P de multiplicité n, alors P est factorisable par (X-alpha)^n

Ici, 7 annule seulement P. C'est une racine de multiplicité 1
P est donc factorisable par (X-7). Donc il existe Q(X) dans R[X] tel que P(X) = (X-7)Q(X)

On rappelle que P est dans E également. Donc il faut multiplier (X-7) par un polynôme de degré 1 pour avoir un polynôme de degré 2. Le degré de Q est donc 1

On a donc P = (X-7)(aX+b), avec a,b des réels

Quand tu développes, tu as aX(X-7) + b(X-7)

Tu as ici une combinaison linéaire des polynômes X(X-7) et (X-7) !

De plus, l'un n'est pas combinaison linéaire de l'autre -> il n'y a pas de dépendance linéaire.
Ainsi, la famille de vecteurs formée par les polynômes X(X-7) et (X-7) est libre

De plus, elle est formée de 2 vecteurs. Or, dim(S) = 2. D'après ton cours, une famille de vecteurs libre de F et formée de n vecteurs, où n = dim(F), est une base de F

Tu as donc qu'une base de S est ((X-7), X(X-7))

C'est le même raisonnement pour l'exo 4 (d'ailleurs, dans l'énoncé, ne serait-ce pas "degré inférieur OU EGAL à 2? )

Exo 3 et 5 : il faut utiliser les mêmes raisonnements pour les 2 exos.
D'un coté, je pense qu'il faut utiliser la forme du polynôme P = aX^2+bX+c pour intégrer et avoir une 1ère équation, et de l'autre utiliser une 2e dérivation pour avoir une 2e équation, mais je suis vraiment pas sûr de ce que j'avance, il se fait tard et j'ai pas tous mes neurones avec moi

J'espère ne pas avoir dit de bêtises. Je reviendrai sur ces exos demain si j'ai le temps, j'espère que la réflexion aura avancé d'ici là

Pour le 1 a priori tu peux choisir v3 arbitrairement hors de E et chercher un moyen pour construire v4 a partir de v1,v2,v3

Re

J'ai réfléchi à l'exo 2 et 5, comme je l'ai dit précédemment ils doivent être résolus de la même manière. Je vais prendre l'exemple de l'exo 5

On a d(P) inf à 2, donc d(P) inf ou égal à 1.

Soit (∫de 0 à 3 de aX+b) = 0
Une primitive de aX+b est a/2*X^2 + bX

Soit [a/2*X^2 + bX] entre 0 et 3 = 0

On a donc l'équation 4.5a+3b = 0 quand on remplace

On a donc a = -2/3*b

P est donc de la forme -2/3*b + b
Soit encore P = b(1-2/3*X)

On a une combinaison linéaire de (1-2/3*X), libre et génératrice.

(1-2/3*X) est une base de S.

J'espère ne pas m'être trompé
Je réfléchirai au 1 plus tard

Merci beaucoup pour vos aides, je m'abonne à ceux qui m'ont aidé
J'ai 5 de moyenne en mecanique et algebre lineaire c'est pas du mes trucs
Par contre les maths de type calculus analyse j'adore, j'adore 13 de moyenne à ça

Le 04 avril 2019 à 13:28:04 Stpy a écrit :
Re

J'ai réfléchi à l'exo 2 et 5, comme je l'ai dit précédemment ils doivent être résolus de la même manière. Je vais prendre l'exemple de l'exo 5

On a d(P) inf à 2, donc d(P) inf ou égal à 1.

Soit (∫de 0 à 3 de aX+b) = 0
Une primitive de aX+b est a/2*X^2 + bX

Soit [a/2*X^2 + bX] entre 0 et 3 = 0

On a donc l'équation 4.5a+3b = 0 quand on remplace

On a donc a = -2/3*b

P est donc de la forme -2/3*b + b
Soit encore P = b(1-2/3*X)

On a une combinaison linéaire de (1-2/3*X), libre et génératrice.

(1-2/3*X) est une base de S.

J'espère ne pas m'être trompé
Je réfléchirai au 1 plus tard

Pour l'exercice 1 j'ai trouvé, voici un exemple:

Le vecteur v1 est 0,4,-3,3 et v2 -2,-4,-4-1
Le plus grand nombre est donc 4 qui est celui de v1
Pour v3 j'ai donc mis 5 (5>4 et on pouvait mettre 6, 7 etc , faut juste un nombre n>4)à la dernière colonne et v4 5 aussi car on veut qu'ils soient différent de V
Et j'ai mis les mêmes coordonnées qur v1 et v2 sauf pour la dernière colonne pour v3 et v4 qui le nombre 5 car on veut qu'il soit linéairement dépendant et dimension 3
Tout est marqué dans mon screen

Re
Content de voir que tu as trouvé!
As-tu réussi les autres exos? Les résulats que je t'ai donnés se sont-ils avérés bons?

En fait, je pense que on pouvait prendre v3 quelconque comme suggéré par Shadok, bien sur n'appartenant pas à Vect(v1,v2), et construire v4 comme combinaison linéaire de v1,v2 et v3

Ainsi on aurait Vect(v1,v2,v3,v4) = Vect(v1,v2,v3) avec la famille (v1,v2,v3) libre donc Vect(v1,v2,v3) est une base de l'espace final recherché, avec 3 vecteurs donc bien de dimension 3

Cependant, quelqu'un d'un peu plus avancé pourrait me dire si, en prenant v4 comme combinaison linéaire de v1,v2,v3, on a toujours v3 et v4 linéairement indépendants?
J'ai un petit doute

"Vect(v1,v2,v3) est une base de l'espace final recherché, avec 3 vecteurs donc bien de dimension 3"

Je pense avoir dit une bêtise, ici j'utilise Vect(v1,v2,v3,v4) = Vect(v1,v2,v3) pour dire que le sous espace vectoriel engendré par (v1,v2,v3,v4) est de dimension 3

Bordel j'ai l'impression de dire n'importe quoi, qu'on me corrige au plus vite si c'est le cas, désolé mais j'suis pas sur de moi là, j'ai envie de t'aider khey mais moi aussi j'suis en train de traiter le chapitre j'maîtrise pas tout à la perfection