Bonsoir tout le monde.

Je bloque complètement sur un exercice de probabilités. Je hais cette matière, mais étant donné que j'ai examen d'ici peu, j'ai pas le choix.

Voilà l'exercice en question :

Je bloque sur la question 4.

Voilà concrètement ce que j'ai trouvé pour les densités de Z1 et Z2 :

Mon raisonnement pour la question 4 est "Ok, on a les densités de Z1 et Z2, on calcule donc la fonction caractéristique de Z1 et Z2 puisque ça caractérise la loi."

Pour Z1 c'est OK, on trouve un résultat qui ressemble à la fonction caractéristique de la loi normale, mais j'arrive pas à trouver pour Z2. Il faut résoudre l'intégrale de 0 à +inf de exp(itx) * exp(-x²/2) dx

I.E :

Aidez moi je vous en SUPPLIE. J'ai essayé plein de trucs, rien n'a fonctionné.

Même méthode que pour avoir la fonction caractéristique d’une loi normale. Intégrale à paramètre, on dérive, équation diff etc..

Sinon avoir les densités suffit à caractériser la loi, tu peux t’arreter La

Une densité caractérise pas la loi d'une variable aléatoire, ou alors j'ai loupé une propriété dans mon cours ?

A mon avis il y a une astuce pour la fonction caractéristique. Je pense avoir une idée mais ça doit être une arnaque :

POURTANT si on calcule l'intégrale sur Wolfram on a exactement ça (à une fonction d'erreur "erf" près) donc pourquoi intégrer exp(-itz) et intégrer exp(itz) revient au même ? Parce que c'est le même graphe concrètement ?

Aled

Bien sûr qu’une densité caractérise la loi d’une VA

La densité suffit. Quand tu as la densité d'un couple (X,Y), $f_{(X,Y)}$ disons, t'as la densité de X qui vaut :
$f_X(x) = \int f_{(X,Y)}(x,y) dy$. Idem pour la densité de Y. Si tu connais la densité de (Z1,Z2), il faut intégrer en une seule variable pour retrouver les lois marginales. tu te retrouve avec du calcul d'intégrale à paramètre donc.

Je suis sceptique, il existe une preuve comme quoi la densité d'une v.a caractérise la loi ?

Si tu penses que la fonction de repartition (CDF) caracterise la loi, cette fonction de repartition est totalement definie par la densite de probabilite (PDF), puisque CDF = integrale de 0 a l'infini de PDF. Donc la PDF definie aussi bien la loi de proba que la CDF..

$P_X([a,b]) = \int_{a}^{b} f_X(x) dx$.
De manière générale, pour n'importe quel borélien A, $P(X \in A) = \int_{A} f_X(x) dx$. Connaitre la densité c'est donc connaitre la mesure image ie la loi. Tu vois bien que si $f_X = f_Y$ X et Y auront même loi ? $P(X \in A) = $ ? $P(Y \in A)$ ?
https://fr.wikipedia.org/wiki/Variable_al%C3%A9atoire_%C3%A0_densit%C3%A9

Super, merci à tous