Bonjour,

• A quelle(s) condition(s) a-t'-on l'intégrale de la limite qui vaut la limite de l'intégrale ?

Autre question j'avais un exercice sur cette intégrale : $ \int_{0}^{x}e^{-t}t^ndt$, on s'intéresse à la limite quand x tend vers l'infini.

Moi j'ai fait une ipp, afin de trouver une relation de récurrence du style I_n=nI_(n-1)-t^n-1e^-t puis j'ai utilisé la relation de récurrence n-1 fois afin de montrer que cette limite vaut n!. Donc en gros je calcule une forme explicite puis je fais tendre vers plus infini x.
Le gros problème c'est que la partie t^ie^-t devient très vite génante et c'est donc laborieux de justifier que tous les termes de cette forme tendent vers 0.

Dans la correction ils utilisent directement $\int_{0}^{ \infty }e^{-t}t^ndt$

Mais à quelle condition peut-on écrire ça ? Car il me semble que l'on ne peut mettre d' "infini"dans les bornes que si l'on a montré au préalable que cette intégrale converge non ? Mais en tout cas c'est bien pratique car cela permet directement de "supprimer "la partie génante et t^ie^-t.

• Comment montre t'-on que si, (U_n)^2 converge et que Un est toujours positif alors U_n converge ?

Merci

Le 29 mars 2019 à 08:59:20 IntellectSup a écrit :
Bonjour,

• A quelle(s) condition(s) a-t'-on l'intégrale de la limite qui vaut la limite de l'intégrale ?

La notion de convergence uniforme a été inventée pour répondre à cette question. Cependant, elle ne s'applique que lorsqu'on intègre sur des intervalles bornés. Les théorèmes de convergence monotone et de convergence dominée s'appliquent beaucoup mieux et demandent incroyablement peu d'hypothèses.

Le 29 mars 2019 à 08:59:20 IntellectSup a écrit :
Dans la correction ils utilisent directement $\int_{0}^{ \infty }e^{-t}t^ndt$

Mais à quelle condition peut-on écrire ça ? Car il me semble que l'on ne peut mettre d' "infini"dans les bornes que si l'on a montré au préalable que cette intégrale converge non ? Mais en tout cas c'est bien pratique car cela permet directement de "supprimer "la partie génante et t^ie^-t.

Effectivement, il faut vérifier que la fonction est intégrable avant de mettre une borne infinie. Ici l'idée est que l'exponentielle tend tellement vite vers 0 que le polynôme t^n devant va pas changer grand chose et on va pouvoir intégrer. Pour le montrer rigoureusement, on peut utiliser les critères de comparaisons et montrer que exp(-t)t^n est un o(1/t^2).

Le 29 mars 2019 à 08:59:20 IntellectSup a écrit :

• Comment montre t'-on que si, (U_n)^2 converge et que Un est toujours positif alors U_n converge ?

La fonction racine carrée est continue donc on peut conclure toute suite en passant à la racine.

Super clair, merci !