Bonsoir j'ai montré que pour x entre 0 et pi/2, sin x supérieur à 2x/pi, en utilisant les variations.
Je sais que l'on peut utiliser la concavité du sinus sur cet intervalle pour montrer l'inégalité. Pourriez-vous me montrer comment on procède.

Ensuite ils demandent de montrer sur le même intervalle que cos(x) inférieur à 1 -(x^2/pi). J'ai d'abord pensé à utiliser mon premier résultat puis appliquer cos^2(x)+sin^2(x)=1, mais je me retrouve avec une racine ce qui complique de beaucoup l'inégalité.

Peut-être faut-il intégrer en utilisant notre premier résultat? Si oui comment fait-on ?

Bah exactement comme tu l'as dit : en intégrant

Oui mais en intégrant j'obtiens un nombre par une fonction qui dépend de x, donc je dois mal m'y prendre

Sin(u)>2u/pi
Integrale de 0 a x: cos(x)-1>x2/pi

Merci et du coup comment peut-on utiliser la concavité du sinus pour montrer l'inégalité 1

Tu prends la définition de la concavité (position par rapport à ses tangentes)