Bonjour, je suis pas super à l'aise avec la combinatoire et ma rédaction n'est pas très rigoureuse : c'est pourquoi j'aimerai savoir si ce que j'ai fais est bon et surtout comment mieux le rédiger, avec plus de formalisme.

Enoncé : On note S(n,p) le nombre de surjections d'un ensemble de cardinal n dans un ensemble de cardinal p.
1) Calculer S(n,n) : déja n supérieur ou égal à n donc on est sur que cet ensemble est non vide.
On est ramené au nombre de bijections de n dans n. En effet, supposons qu'une valeur n puisse être prise deux fois. Alors il reste n-2 antécédents auxquels il faut attribuer n-1 images, car la fonction est surjective. C'est impossible. Le nombre de bijections d'un ensemble dan lui même revient à déterminer le nombre de suites ordonnées à n éléments que l'on peut former à partir de n élément. Cela revient à calculer le nombre de permutations d'un ensemble de cardinal n soit n!.

2) Calculer S(p+1,p) : alors la ma rédaction est déguelasse : p+1 supérieur à p donc notre ensemble est non vide.
Pour que la fonction soit surjectives il est nécessaire que les p images soient prises. Parmi mes antécédents possibles j'en choisis p qui occuperont ces valeurs:
-je dois choisir p valeurs parmi p+1 soit p+1 choix
-je dois prendre en compte les permutations d'images possibles soit p!.
J'ai donc déjà (p+1)p! possibilités.

Il me reste un antécédent auquel je peux attribuer p valeurs.

Donc en tout p(p+1)p! possibilités

3) Mq que $S(n,p)= \sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}S(n-k,p-1)$
Alors j'ai eu trois idées la première c'était d'utiliser la formule du nombre de surjections de n dans p et d'essayer de la modifier pour tomber sur ce que l'on voulait, mais c'est très vite devenu très laborieux, donc si quelqu'un y arrive je suis preneur. De plus je pense au vu des premières questions, qu'ils veulent qu'on retrouve cette formule.

Deuxième idée : procéder par double comptage, c'est à dire en comptant de deux manière différentes la même chose, obtenir l'égalités voulue

Troisième : au vu des premières questions faire une récurrence sur n. (D'ailleurs pourquoi sur n et pas sur p,?)

Quand on a plusieurs variables, est-il préciser celle que l'on doit prendre pour faire une récurrence ou est on libre de la faire pour la variable qui nous arrange ?

Merci

1) ok
2) c'est faux, tu comptes des choses en double. Regarde ce qu'il se passe pour p=1 pour voir que ta formule marche pas.
3) moi j'aurais pris un des éléments de l'image, et fait une disjonction de cas suivant son nombre d'antécédents. Il y a peut être d'autres méthodes

La récurrence, tu peux la faire sur la variable que tu veux, en général il est assez important de choisir la bonne