Bonsoir, je bloque sur un exerce de probabilité j'aimerais deja savoir si j'ai le bon raisonnement pour les questions du début le voici :
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Partie I:
Un bateau de croisière a 2n moteurs (n ≥ 1) qui fonctionnent de manière indépendante les
uns des autres. Au cours d'un voyage, chaque moteur a une probabilité p de tomber en panne. Le
bateau finit son voyage dans les temps si au moins n+1 moteurs ne sont pas en panne. Sinon le bateau
finit son voyage avec du retard, et ce quelque soit le nombre de moteurs en état de marche, même 0.
1. Dans cette question, le bateau s'appelle Ajax et a deux moteurs (n = 1). Le bateau ne peut
donc finir un voyage dans les temps que si aucun moteur ne tombe en panne. On note X1 le
nombre de moteurs qui tombent en panne au cours du voyage. Quelle est la loi de X1 ? Quelle
est la probabilité que l'Ajax puisse finir le voyage dans les temps ?
2. Dans cette question le bateau s'appelle Brutus, et a quatre moteurs (n = 2). Le bateau peut
donc finir un voyage si un moteur au plus tombe en panne. On note X2 le nombre de moteurs
qui tombent en panne au cours du voyage. Quelle est la loi de X2 ? Quelle est la probabilité que
le Brutus puisse finir le voyage dans les temps ?
3. Comparer les résultats des deux premières questions, en fonction des valeurs de p. Quel bateau
a le plus de chances de pouvoir finir son voyage si p = 1/2 ?
Partie II :
On considère maintenant que chaque bateau fait plusieurs voyages, et que les moteurs se
comportent de manière indépendante au cours de chaque voyage : s'il n'est pas en panne, un moteur
tombe en panne au cours du voyage suivant avec probabilité p, indépendamment des autres moteurs
et de son comportement lors des autres voyages. Les moteurs ne sont pas réparés entre les voyages.
4. Quel est la probabilité qu'un moteur fonctionne toujours après m voyages ?
5. Quelle est la probabilité que l'Ajax (voir Q1) effectue ses m premiers voyages dans les temps ?
6. On note NA le numéro du premier voyage que l'Ajax n'a pas pu finir dans les temps. Quelle est
la loi de NA ? Quelle situation reconnaissez-vous ?
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Donc pour la partie I )
1)X1 suit une loi binomiale de parametre p=p et n=2
Donc la loi de X1 est p(X1=i)=( i parmis 4)*p^i * (1-p)^(2-i) avec i=0,1,2
la probabilité que l'ajax finisse son voyage a temps et égale à p(X=0)=(1-p)^2
2)X2 suit une loi binomiale de parametre p=p et n=4
La probabilité que Brutus finisse son voyage a temps est donnée par :
P(X=0) + P(X=1)= (1-p)^4 + 4*p*(1-p)^3
3)Si p=1/2 alors la proba que Ajax finisse son voyage a temps est 1/2 et pour Brutus c'est 3/8 donc brutus a plus de chance finir son trajet a l'heure que Ajax
Parti II)
4) La probabilité qu'un moteur fonctionne toujours apres m voyages est (1-p)^m
La suite je bloque j'aimerais deja savoir si j'ai le bon raisonnement pour les questions du début et un indice sur la suite merci
