Dans les familles des usagers d'un club de sport, la loi du nombre d'enfants est donné par la loi uniforme sur l'ensemble fini {1,2,3}. On suppose que la répartition des sexes est équiprobable. On choisit au hasard une famille. Calculer la probabilité que cette famille soit composée d'un seul enfant sachant qu'il y a exactement un seul garçon dans la famille.

J'ai fait :

Probabilité condition P(B/A) avec B la probabilité que la famille soit composée d'un seul enfant et A la probabilité qu'il y ait uniquement un garçon

P(A et B) j'ai trouvé 1/3 * 1/2 = 1/6
P(A) là je sais pas du tout, j'aurais tendance à dire que y a 1/4 que y ait 0 garçon, 1/4 1 garçon, 1/4 2 garçons et 1/4 3 garçons donc au final P(A) = 1/4

Donc la comme probabilité conditionnelle je trouve 1/6:1/4=2/3

C'est bien ça ? Je trouve mon raisonnement trop simpliste donc je doute...

Je dirais que la partie "P(A et B) = 1/3 * 1/2 = 1/6" est fausse.
Ces deux événements ne sont pas indépendants.
Il y a 2+2*2+2*2*2=14 possibilités en tout (G, F, GG, GF, FG, FF, etc pour 3 enfants).
Donc la probabilité d'avoir un seul enfant et que ça soit un garçon est de 1/14, et non 1/6.

Si on note N la variable aléatoire qui compte le nombre d'enfants, et G la variable aléatoire qui compte le nombre de garçons parmi ces enfants, alors on cherche à calculer P(N=1 | G=1).
P(G=1) = P(G=1 et N=1) + P(G=1 et N=2) + P(G=1 et N=3) = 1/14 + 2/14 + 3/14 = 6/14.
Donc P(N=1 | G=1) = P(N=1 et G=1)/P(G=1) = (1/14)/(6/14) = 1/6.

En espérant ne pas m'être trompé, c'est lointain pour moi.
Si quelqu'un sait comment s'en sortir sans le dénombrement que j'ai effectué, ça m'intéresse