Salut, je voudrais calculer la différentielle de l'application suivante :
f(z) = x + iy^2 pour tout z complexe.

J'utilise donc la formule de la différentielle :
df = (deltaf/deltax)dx + (deltaf/deltay)dy

en appliquant on obtient :
df = 1*dx + 2iy*dy

Je ne comprends pas ce que c'est que dx et dy...
Intuitivement je dirais simplement que la différentielle est 1 + 2iy mais bon.
Merci par avance !

Ce sont des formes linéaires $dx : (u,v)\mapsto u$ et $dy : (u,v)\mapsto v$. Quand tu écris la différentielle $df$ tu l'exprimes comme combinaison linéaire de ces formes dont les coefficients dépendent du point de base de manière continue.

Merci pour ta réponse, mais que "valent" ces formes linéaires ? Elles sont à prendre en compte dans le calcul de la différentielle ?
Dans mon cas ça donnerait quoi par exemple ?

En fait, ta différentielle en un point $(a,b)$ évaluée en $(h,k)$ c'est
$$ \mathrm df(a,b)\cdot (h,k) = \frac{\partial f}{\partial x}(a,b) h + \frac{\partial f}{\partial y}(a,b) k $$
On écrit alors ça comme une somme des formes :

$$ \mathrm df(a,b) = \frac{\partial f}{\partial x}(a,b) \mathrm dx + \frac{\partial f}{\partial y}(a,b) \mathrm dy $$
Puis on retire le point $(a,b)$ pour avoir la formule que tu as annoncée :
$$ \mathrm df = \frac{\partial f}{\partial x} \mathrm dx + \frac{\partial f}{\partial y} \mathrm dy $$
En fait tu peux imaginer que $\mathrm df$ est l'action de la jacobienne $\operatorname{Jac} f$ sur le vecteur $(\mathrm dx,\mathrm dy)$ dans le dual de $\mathbb R^2$

Super merci pour ta réponse !

de manière plus physique, tu as df = f(x+dx,y+dy) - f(x,y) avec dx et dy des quantités infinitésimales selon les directions x et y