Salut

J'aimerais montrer le résultat suivant :

Soient $U \subset \mathbb C$ un ouvert non vide, $f : U \to \mathbb C$ une fonction continue et $\gamma$ un chemin rectifiable dans $U$.

Étant donné $\varepsilon>0$, il existe toujours un chemin $\Gamma$ de classe $\mathcal C^1$ homotope à $\gamma$ dans $U$ de telle sorte que
$$ \left\vert \int_\gamma f(z)\,\mathrm dz - \int_\Gamma f(z)\,\mathrm dz \right\vert \leqslant \varepsilon$$

J'ai essayé pleins de trucs pour contrôler la proximité entre les chemins et j'ai omis l'approximation uniforme de $f$ et là je me retrouve bloqué Voici ce que j'ai essayé de faire :

1) J'ai fixé mon $\varepsilon>0$ et j'ai pris un $\alpha>0$ pour contrôler l'écart entre l'intégrale de $f$ sur $\gamma$ avec les sommes de Riemann-Stieltjes pour des subdivisions suffisamment fines (avec un pas d'au plus $\alpha$) par $\varepsilon/2$.
2) J'ai noté $d $ la distance du compact $\mathrm{Im}(\gamma)$ au fermé disjoint $\partial U$ et immédiatement exploité l'uniforme continuité de $\gamma$ avec un écart uniforme de $d/4$ dès lors que les points sont $\delta$-proches.
3) J'ai bâtis un chemin polygonal proche de $\gamma$ sur une subdivision de pas régulier $1/n<\delta$. J'ai lissé la paramétrisation affine par une fonction en bosse $\mathcal C^\infty$ pour rendre $\mathcal C^1$ le chemin polygonal.
4) J'ai montré qu'il y avait une homotopie entre les deux chemins.

Mais après coup je me rend compte que j'ai oublié d'exploiter l'uniforme continuité locale de $f$. Pourtant je sais que la fin va se jouer à coups d'inégalités triangulaires... à condition d'avoir bien contrôlé les écarts pris par la fonction $f$

Est-ce que quelqu'un voit comment modifier le tout pour finir la preuve ?