Bonjour,

Soit u un endomorphisme de E tel que P(X) = X^3 +2X² -X -2 soit un polynome annulateur de u.

Je dois montrer que u est bijective et déterminer la bijection réciproque, et je ne vois pas du tout comment faire

u^3 + 2u^2 - u = 2Id
u o (u^2 +2u - Id)/2 = Id
Donc u est inversible d'inverse (u^2 +2u - Id)/2.

Merci j'avais oublié cette caractérisation de la bijectivité

Après je dois montrer que les sous-espaces propres associés aux valeurs propres -1, 1 et 2 sont supplémentaires dans E.

J'ai dit que les racines de P sont bien -1, 1 et 2, donc que les valeurs propres possibles de u sont inclues dans {-1,1,2} par définition.

Mais ça ne suffit pas si? Il faut bien montrer que -1, 1 et 2 sont bel et bien valeurs propres ?

Edit : les racines sont 1, -1 et -2

Sans plus d'information sur u, on sait pas quelles sont les valeurs propres, si ce n'est comme tu l'as dit qu'elles sont parmi {-1,1,-2}. Par exemple si u = Id alors P annule bien u mais 1 est la seule valeur propre.
Là il faut juste que t'appliques le lemme des noyaux je pense.

Je pense qu'il doit y avoir autre chose car j'ai pas vu ce lemme mais je vais aller y jeter un coup d'oeil, merci