Bonjour,

Deux joueurs jouent à pile ou face à tour de rôle, celui qui obtient face en premier à gagné : je cherche à calculer la probabilité pour que le premier joueur gagne la partie. La réponse est 2/3, mais je ne connais pas le cheminement ...

Merci d'avance

Salut,

lorsque les deux tombent sur pile à un tour, alors au tour suivant c'est comme si la partie recommençait sauf que c'est l'autre joueur qui démarre. En notant p la probabilité de gagner à ce jeu, tu peux donc trouver une équation simple en p qui te permet d'en déduire sa valeur.

Une autre méthode est de faire au cas par cas : Le premier joueur gagne s'il obtient face au premier coup, ou bien s'il obtient face au second mais que le deuxième joueur a obtenu pile au premier, ou bien s'il obtient face au troisième coup mais que le deuxième joueur a eu deux piles avant, etc.

Tu peux voir le problème autrement. Imagine que tu joues tout seul. Tu lances une pièce et tu regardes au bout de combien de lancers tu obtiens face. On appelle X ce nombre (c'est une variable aléatoire).Tu gagnes si X est impair.
X peut prendre les valeurs 1, 2, 3, .... etc. Pour un entier k >= 1, on a P(X = k) = (1-p)^(k-1)*p, si p est la proba d'obtenir face. En effet pour obtenir face au k-ème lancer, il faut déjà faire k-1 fois pile, ce qui arrive avec proba (1-p)^(k-1) et une fois face, ce qui arrive avec proba p. Si p = 1/2 on obtient simplement 1/2^k
Donc P(gagner) = P(X = 1 ou X = 3 ou X = 5 ....) = P(X = 1) + P(X = 3) + P(X = 5) + ... = 1/2^1 + 1/2^3 + 1/2^5 = (1/2)*(1 + 1/4 + 1/16 +... ) = (1/2)*(1/(1 - 1/4)) = 2/3 (c'est une somme géométrique).

lorsque les deux tombent sur pile à un tour, alors au tour suivant c'est comme si la partie recommençait sauf que c'est l'autre joueur qui démarre. En notant p la probabilité de gagner à ce jeu, tu peux donc trouver une équation simple en p qui te permet d'en déduire sa valeur.

Oui, j'y ai pensé après, mais c'est plus élégant de faire comme ça.