Bonsoir, deux questions :

Peut-on prouver autrement qu'avec Jensen que $ln((a+b)2/\geq 1/2(ln(a)+ln(b))$

Est-ce que lim $x^n*e^x$ en moins l'infini, avec n fixé donnera toujours 0 ? Que peut on dire si x tend vers - l'infini et que n tend en même temps vers plus l'infini ? (j'ai pensé à utiliser le fait que a^x= exp(xln(a)) ce qui me donne $x^n*e^x=exp(x+nln(abs(x))$

Tu persistes a utiliser du latex mais sans la syntaxe qui va avec, on t'as déjà dit que ça piquait les yeux

Sinon le "tendre en même temps vers l'infini" est un peu ambigu, comment tu définierais ça ? En général tu fais tendre l'un puis l'autre, les 2 en meme temps ça veut rien dire

Dans ce cas là on fixe x très très petit et on fait tendre n vers plus infini ou encore on fixe n très très grand et on fait tendre x vers moins l'infini. D'ailleurs je vois pas pourquoi on pourrait pas faire tendre l'un et l'autre vers ce que l'on veut, comme pour les fonctions à deux variables quoi.

En ce qui me concerne, c'est sûr que la limite en -oo de x^n exp( x ) ce sera TOUJOURS 0. Ce sont les croissances comparées. Quant à les démontrer, j'avoue avoir oublié
Après, quand à faire tendre l'un ou l'autre l'un après l'autre ben ... Le soucis c'est qu'il n'est pas obligé que t'ait les mêmes limites. A priori, y'a aucune raison que la limite quand x tends vers -oo de la limite quand n tends vers +oo soit la même que la limite quand n tends vers +oo et quand x tends vers -oo.

Et quant à parler de problème de syntaxe bizarre, c'est quoi ton inégalité avec les ln ? Je l'ai pas comprise

Merci.
1) Tu aurais un lien avec la démonstration ? J'ai cherché sur internet, j'ai rien trouvé
2) Je demande s'il existe un autre moyen qu'avec Jensen, de prouver que $ln(\frac{a+b}{2})\geq \frac{1}{2}(ln(a)+ln(b))$ (par exemple en fixant a et en étudiant le signe de la fonction selon b...

https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_des_croissances_comparées
Il semble que Wikipédia offre une démo très générale et satisfaisante, quoiqu'un peu lourde je trouve ^^

Sinon, pour l'inégalité, je pense qu'il y a effectivement moyen de faire comme tu as dis, mais je pense qu'il y a encore plus simple. Si on part de cette inégalité, on peut appliquer l'exponentielle ce qui nous permet de trouver (a + b) / 2 >= sqrt(ab) (avec 1/2 ln( a ) = ln(sqrt(a))).
En appliquant la fonction carrée, on trouve (a + b)² >= 4ab ce qui équivaut à dire que (a - b)² >= 0, ce qui est bien vrai. A priori, je n'ai fais qu'un sens, donc il faudrait faire la réciproque. On prends alors a et b strictement positif (pour le ln). On a (a - b)² >= 0, donc, en revenant en arrière, j'ai (a + b) / 2 >= sqrt(ab), ce que j'ai le droit de faire car a et b sont strictement positifs. Et en appliquant le logarithme, on a ce qu'on veut.

EDIT: Si tu connais l'inégalité arithmético-géométrique, on peut appliquer directement ce résultat. En fait cette inégalité dit que la moyenne géométrique (la racine n-ème du produit de n termes) est inférieure à la moyenne arithmétique. Dans notre cas, ça donne donc directement sqrt(ab) =< (a + b) / 2

Merci beaucoup !