Bonjour,

J'ai vraiment du mal avec la méthode du produit de convolution dans son utilisation pour trouver une somme de variables aléatoires à densité. On a vu pour l'instant en cours la méthode avec changement de variable.

Soit X et Y indépendantes, qui suivent la même lui uniforme sur [1,2]. Déterminer une densité de ln(X) + ln(Y).

J'ai déterminé une densité de ln(X), précisé que les var étaient indépendantes à densité.

Soit $$h(x)=\int_{-\infty }^{+\infty }{f_{ln(X)}(t)}f_{ln(Y)}(x-t)dt$$

Comme ln(X) est non nulle seulement sur [0;ln(2)], on a : $$h(x)=\int_{0}^{ln(2) }{f_{ln(X)}(t)}f_{ln(Y)}(x-t)dt$$

$$= h(x) = \int_{0}^{ln(2) }e^{t}f_{ln(Y)}(x-t)dt$$

Je pose $$u=x-t$$ donc $$du=-1$$

Après changement de variable, j'obtiens sauf erreur : $$h(x)=\int_{x-ln(2)}^{x }e^{x-u}f_{ln(Y)}(u)du$$

Je sais qu'après il faut faire "varier" l'intervalle [x-ln(2);x] pour trouver les valeurs où la fonction ne s'annule pas, mais en pratique je n'arrive pas à le faire

Je sais que ça prend tu temps de tout lire et comprendre ce que je veux dire, mais ça fait des jours que j'essaie de comprendre cette méthode et c'est surtout la partie :

" Je sais qu'après il faut faire "varier" l'intervalle [x-ln(2);x] pour trouver les valeurs où la fonction ne s'annule pas, mais en pratique je n'arrive pas à le faire "

où je galère

C'est un peu chiant ces trucs-là. Plutôt que de changer les bornes de l'intégrale, je préfère garder $\mathbb{R}$ et utiliser des indicatrices. Si on note $f$ la densité de $\ln X$ (et donc celle de $\ln Y$), alors
$$f(x) = e^x\mathbf{1}_{[0,\ln 2]}(x).$$
On donc la densité de $\ln X+\ln Y$ s'écrit
$$h(x) = \int_{\mathbb{R}}e^t\mathbf{1}_{[0,\ln 2]}(t)e^{x-t}\mathbf{1}_{[0,\ln 2]}(x-t)dt.$$
Les $e^t$ et $e^{-t}$ se simplifient, le $e^x$ sort de l'intégrale, et $\mathbf{1}_{[0,\ln 2]}(x-t) = \mathbf{1}_{[\ln 2 -x,\ln 2]}(t).$
Donc
$$h(x) = e^x\int_{\mathbb{R}}\mathbf{1}_{[0,\ln 2]}(t)\mathbf{1}_{[\ln 2 -x,\ln 2]}(t)dt = e^x\ell(x),$$
avec $\ell(x)$ la longueur de l'intervalle $[0,\ln 2]\cap [\ln 2 -x,\ln 2]$. Maintenant on envisage plusieurs cas :

• si $x<0$ ou $x>2\ln 2$, l'intersection est vide et donc $\ell(x) = 0$.
• si $0\leq x\leq \ln 2$, l'intersection vaut $[0,x]$ et donc $\ell(x) = x$.
• si $\ln 2 < x \leq 2\ln 2$, l'intersection vaut $[x - \ln 2,\ln 2]$ et donc $\ell(x) = 2\ln 2 - x$.