Voilà on commence le chapitre sur les intégrales impropres et je suis pas encore tout à fait à l'aise avec le truc
Voici mon exo J'aurais besoin d'aide sur 3-4 questions ça doit être tout con

Merci

J'ai pas vraiment réfléchi car il faudrait écrire un peu les choses...

2-a- Tu peux écrire l'intégrale de x à l'infini comme la somme de deux intégrales (Chasles) et tu as le droit car E est l'ensemble des fonctions tels que l'intégrale de x à +inf est toujours convergente (pour x dans R). De là, tu as une intégrale sur laquelle utiliser le théorème fondamental et une autre qui ne dépend pas de x.

2-b- Tu peux faire une intégration par partie pour avoir une intégrale en f'(t)*exp(-t). Le fait que f(x)=o(exp(x)) en +infini te permet de dire (dans le crochet de l'IPP) que exp(-t)*f(t)=f(t)/exp(t) tend vers 0 en +inf, ce qui rend légitime l'IPP. De là tu peux en déduire ce qui est demandé. Ensuite tu calcules...

Pour la 3-c je pense que tu peux dire que phi(en) appartient à Pn. Donc Phi(en) s'écrit comme somme de terme en (e0,..,en) i.e si tu prends une combinaison linéaire des phi(ei) tu as une C.L des (e0,...,en). Comme (e0,...,en) est une base c'est une famille libre. Donc ((phi(ei)) i dans [0,n] est une famille libre. Ton application phi transforme une base en une famille libre tu peux donc en déduire quelque chose sur phi et en invoquant la dimension finie tu as le fait que psi_n est un automorphisme.

3-d Suffit d'écrire la matrice qui est bien triangulaire supérieure avec des 1 sur la diagonales. Le polynôme caractéristique te donne que 1 est l'unique valeur propre. Pour que la matrice soit diagonalisable il est nécessaire que la multiplicité soit égale à la dimension du SEP associé, sauf que la matrice A-Id est non nulle donc on a pas égalité: la matrice n'est pas diagonalisable.

4- Tu peux peut-être dire que f est une fonction polynomial donc il existe n dans N tel que f soit dans Pn. De là tu peux dire que psi est un automorphisme donc les (phi(ei)) sont une base de Pn. Tu peux donc décomposer f sur les (phi(ei)) et potentiellement appliquer les résultats que tu as trouvé sur les dérivés de phi dans les questions précédentes.

Merci beaucoup je vais me pencher dessus Par contre tu n'as pas répondu à ma question sur la 3)e) mais c'est ptet parce que tu as déjà beaucoup écrit
Par contre on est d'accord que la dérivée de x:-> intégrale de x à +inf de f(t)exp(-t)dt c'est x:-> -f(x)exp(-x)?

Pour les 3dernières je pensais à faire apparaître une équation différentielle c'est une bonne piste?

Concernant la 5)
Je trouve que lambda=0 ne convient pas.
Par contre si je pars du postulat que lambda convient, j'obtient une équa diff qui me donne que les solutions sont les C*exp((λ -1)x/λ) avec C=/= 0 donc je vois pas trop pourquoi il faudrait λ <1 car λ >0 suffit pour avoir la convergence de l'intégrale impropre si on multiplie par exp(-x) ça donne exp(-x/λ) qui est intégrable si λ >0
J'ai vérifié la réciproque et ça marche pourtant

J'ai pas fait les questions, tu avais quoi comme relations dans la partie 2? (entre f,f' phi et ses dérivées)

Le 06 janvier 2019 à 09:58:34 Xsansrienbranle a écrit :
J'ai pas fait les questions, tu avais quoi comme relations dans la partie 2? (entre f,f' phi et ses dérivées)

F' = F - f
(Phi(f))'=Phi(f')

Mais je sais pas en déduire la condition vu qu'a priori même leslambda >= 1 fonctionnent

Je vois pas non plus pourquoi lambda < 1. D'ailleurs si on prend lambda = 1 et f la fonction constante égale à K (qui est bornée donc dans E), alors on voit qu'on a phi(f) = f. Et plus généralement les fonctions propres sont bien celles que tu dis, pour tout lambda > 0.

Je n'ai en effet pas répondu car je n'ai pas trouvé de justification à lambda < 1. D'ailleurs si tu reçois la réponse je suis preneur

Moi aussi.

Après discussion avec mon prof il se serait bien gourré apparemment, j'aurais confirmation demain