Bonjour, voici un exercice que j'ai un peu débroussailler mais que je n'ai pas terminé
1) Soit f de R dans R une fonction continue, périodique, et admettant une limite en plus infini. Que dire de f ?
Ce que j'ai fait : Il est clair, que cette fonction est une fonction constante.
Supposons par l'absurde que cette fonction ne soit pas constante. On se ramène au cas le plus simple : f(x) vaut $a$ pour certaines valeurs de x (constantes sur un intervalle par exemple). Puisqu'elle est non constante, il existe au moins un $x_1$ réel tel que $f(x_1)=b$ avec $b$ réel différent de $a$. (mais au lieu d'avoir $a$ on pourrait très bien avoir quelque chose qui varie mais on essaie de faire le cas le plus simple possible).
On note T la période de notre fonction : par définition $x_1+T$ appartient toujours à $D_f$ et $f(x_1+T)=f(x_1)$.
Donc notre fonction s'écritf : $\left\{\begin{matrix}
f(x)=a si x=x_1+nT) & \\
f(x)=b, sinon &
\end{matrix}\right.$
Notons l la limite vers laquelle notre fonction converge : $\forall \varepsilon\in \mathbb{R}+ \exists A\in \mathbb{R}/si x> A, \left | f(x)-l \right |< \varepsilon$
Il est clair qu'il existe une valeur de n telle que $x_1+nT> A$ De même il existe $x_2$ strictement supérieur à A, tel que $f(x_2)=b$ (dont l'intersection avec les valeurs de $x_1+Tn$ est nulle pour tout n entier). Notre propriété est vraie pour tout epsilon, elle l'est donc aussi pour epsilon/2. On a donc à partir de A :
$ \left\{\begin{matrix}
\left | f(x_1+nT-l) \right | < \varepsilon /2& \\
\left | f(x_2)-l \right | < \varepsilon/2 &
\end{matrix}\right.$
On alors par somme $\left | f(x_1+nT)-f(x_2) \right |< \varepsilon$. Et là je bloque un peu : j'aimerais en fait montrer qu'à partir d'un certain rang $f(x_1+nT)=f(x_2)$ afin d'aboutir à une contradiction, mais je ne sais pas comment m'y prendre
Message édité le 08 janvier 2019 à 18:29:05 par IntellectSup
