Bonjour, j'ai lu que sur un un intervalle ouvert I de IR, on dit que f une fonction continue sur I est intégrable sur I si et seulement si l'intégrale généralisée de |f| est convergente

Mais alors je comprends pas du tout l'intérêt de la valeur absolue ? Y a des résultats aberrants quand l'intégrale généralisée de f converge mais pas celle de |f| ?

Pas d'intégrabilité, pas de convergence dominée par exemple

Parce que l'ensemble des fonctions intégrables en valeur absolue forme un espace vectoriel, avec une norme qui en découle, donc un espace de Banach (car en plus il est complet), et ça c'est très puissant
Elles forment, l'espace des fonctions L^1, et après tu peux généraliser avec les espaces de fonctions L^p, avec les normes du type ||f||_p = (integrale |f|^p)^(1/p)

Donc pour p = 1 on retrouve bien ||f|| = integrale |f|
Parce que si tu vires les valeurs absolues t'as pas une norme.