Bonsoir,

Je bloque un petit peu pour a.2) de cet exercice :

Je ne vois pas comment je peux dire si série ck converge, je peux juste le faire pour c2k + 1 car c2k+1 < c2k et donc si c2k converge, c2k+1 aussi, mais comment prouver que ck converge ?

Et deuxièmement, dans le cas ou c2k ne converge pas, on ne peut rien affirmer de la convergence de c2k+1 non ?

Merci d'avance

Dans le cas où c2k converge (donc c2k+1 comme tu l'as remarqué) , que déduis-tu entre c2k+1 et c2k+2 ?
Et qu'en déduis-tu sur c2k ? (sachant que somme des c2k = somme des c2k+2 + c0)

Je peux dire que si c2k converge et que c2k+1 converge alors la somme c2k + c2k+1 pour k allant de 0 à l'infini = ck converge également ?

Oui tu peux dire ça , très bien vu.
Je pensais pas à ça au début, mais c'est très bien vu

Tu pensais à quoi au début ?

Et si c2k ne converge pas je ne peux pas conclure de la convergence de ck ?

Merci khey

En gros je pensais à faire ce que t'as fais en plus compliquer
En fait , si la somme c2k diverge , pour que la somme ck converge il faudrait que la somme des c2k+1 soit égale à - c2k + une constante , t'es d'accord avec moi ? (car somme des ck = somme des c2k+1 + somme des c2k , et on veut somme des ck = à une constante puisqu'on la veut convergente donc somme des c2k+1 + sommes des c2k = la constante et on fait passer c2k de l'autre côté)
Or ck est une suite décroissante tendant vers 0 . Donc est-ce que l'égalité plus haut est possible ? Et si non , pourquoi ?
Petite indication si tu vois pas:
SpoilAfficherMasquer0 est minorant de la suite puisqu'elle est décroissante, qu'en conclure sur les termes ?

J’aurais conclu que comme la suite est décroissante et tend vers 0, ses termes sont tous positifs et on sait que toute suite de termes positifs + décroissants et bornée converge dans R

C’est bien ça ?

Merci beaucoup

Pour le deuxième cas, je pense qu'il n'y a nullement besoin de se casser les pieds. On a montré en effet que si la série des termes pairs converge, alors la série de tout les termes (pairs + impairs) converge aussi par comparaison.

On peut aussi raisonner par comparaison, je pense, pour le cas où la série des termes pairs diverge. En effet, il suffit de remarquer que c_2k+1 >= c_2k+2.

On va regarder la somme fini des c_k, jusqu'à un entier n. Bon ben dedans, j'aurai les termes en 2k, et les termes en 2k+1. Pour être précis, appelons S_n la somme jusque n. Intéressons nous à S_2n. Alors S_2n = [Somme des c_2k, k de 0 à n] + [Somme des c_2k+1, k allant de 0 à n-1].

Or, je peux minorer la somme des termes impaires par l'inégalité précédentes: S_2n >= [Somme des c_2k, k de 0 à n] + [Somme des c_2k+2, k allant de 0 à n-1] soit [Somme des c_2k, k de 0 à n] + [Somme des c_2k, k allant de 1 à n+1] par un changement de variable.

Donc, S_2n >= 2 * [Somme des c_2k, k allant de 1 à n] + c_0 + c_n+1

Or, c_n+1 tends vers 0, c_0 est une constante, et la somme des c_2k diverge. Conclusion: la suite S_2n diverge. La suite (S_n) diverge donc (sinon S_2n convergerait aussi), donc la série est divergente, vers +oo (elle peut pas osciller vu qu'on additionne que des termes positifs).