Salut
Petit exo

C'est quoi ton délire avec les semis normes https://www.jeuxvideo.com/recherche/forums/0-35-0-1-0-1-0-cours-et-devoirs.htm?search_in_forum=Pikzoufle&type_search_in_forum=auteur_topic

Je noterai $(\vec e_1, \ldots, \vec e_n)$ la base canonique de $\mathbb R^n$.

1. On se donne $\rho$ une semi-norme sur $\mathbb R^n$. Soit $\vec x \in \mathbb R^n$, on a
$$ \rho(\vec x) \leqslant \sum_{i=1}^n \vert x_i\vert \rho(\vec e_i) \leqslant \|\vec x\|_\infty \max_{i=1,\ldots, n} \rho(\vec e_i)\leqslant \|x\|\max_{i=1,\ldots, n}\rho(\vec e_i)$$
On en déduit alors avec l'inégalité triangulaire renversée que $\rho$ est lipschitzienne, donc continue

Cela signifie que $\{\rho(\vec x) \leqslant 1 \}$ est un lebesguien (borélien même) et que si de plus $\vec x$ se balade sur la boule unité, on a
$$ \rho(\vec x) \leqslant \max_{i=1,\ldots, n}\rho(\vec e_i)$$
Choisissons un vecteur $\vec a$ de la base canonique qui maximise l'inégalité, on distingue deux cas
1er cas : ou bien $\rho(\vec a) < 1$, dans ce cas $\{\rho(\vec x) \leqslant 1 \} \cap B = B$ et $f(\rho) = \lambda(B)$.
2ème cas : ou bien $\rho(\vec a) \geqslant 1$, dans cette configuration $\rho(\vec a) \neq 0$ et $B \cap \{\rho(\vec x) \leqslant 1 \} = \frac{1}{\rho(\vec a)} B$ d'où $f(\rho) = \frac{1}{\rho(\vec a)^n} \lambda(B)$.

Dans tous les cas, on remarque que
$$ f(\rho) = \left(\frac{1}{\max\{1,\rho(\vec a)\}}\right)^n \lambda(B) $$

edit : à la fin c'est plutôt $B \cap \{\rho(\vec x) \leqslant 1 \} = \frac{1}{\max\{\rho(\vec a),1\}} B$

Le 21 décembre 2018 à 15:09:55 the_ff3_fan a écrit :
C'est quoi ton délire avec les semis normes https://www.jeuxvideo.com/recherche/forums/0-35-0-1-0-1-0-cours-et-devoirs.htm

_in_forum=Pikzoufle&type_search_in_forum=

Sinon c’est bien ça pour la première
La 2e n’a aucun rapport par contre

Je comprends que dalle à ce que vous racontez, ça me fait limite flipper
C'est quel niveau ?

L3

L3 ?! Je suis justement en L3 ! Et j'ai pas vu ça D:
C'est quoi comme matière précisément ?

EDIT: J'ai remarqué qu'il y a un $\lambda_{n}$ qui se promène. La mesure de Lebesgue il me semble ?
J'ai pas encore vu les mesures, ça doit expliquer pourquoi j'comprends que pouic

C’est en L3 les mesures normalement non ?

Pas dans toutes les facs, ma L3 a changé et ne le fait plus pour faire des trucs d'info et modélisation je suis tombé 1 ans en retard...

Les mesures, de mon côté, on les voit au second semestre. Ce qui n'empêche pas mes débiles de profs de nous parler de mesures sans qu'on sache c'est quoi