Bonsoir, et merci de votre temps par avance.

On pose $Z=(z-1-i)/((z-3+2i)$ Déterminer géométriquement l'ensemble des points tel que Z soit un imaginaire pur. On prend l'argument d'un nombre complexe non nul. Soit A($z_a=1+i$) et B($z_b=3-2i$). M doit être distinct de A et B dans ce qui suit. On a un iR si arg(Z)=pi/2 modulo 2pi. Par quotient des modules, on obtient, arg($z-z_a$)-arg($z-z_b$)=pi/2 mod 2pi. $\left ( \vec{u}, \vec{AM} \right )-\left ( \vec{u},\vec{BM} \right )=pi/2 mod 2pi$
D'après Chasles, $\left ( \vec{BM}, \vec{AM} \right )=pi/2 (mod 2pi)$. L'affixe de A vérifie la condition Z appartient à iR car le complexe nul est à la fois un réel et un iR.

Voilà ma question, Quel ensemble géométrique-a-t'-on ? Car quand Z est un réel il n'y a pas de problème, c'est une droite (en l'occurence la droite (AB)) mais là je galère plus. Là on a un point différent du point B non ? (intersection des droites AM et BM).

Autres exercices déterminer z tel que z^4=i^2.
z=0 n'est pas solution. La méthode du prof consiste à dire que cela équivaut à dire que z^2=i ou z^2=-i ensuite on dit que deux complexes sont égaux ssi leur module/argument sont égaux et blabla on trouve arg(z)=-pi/4 ou pi/4 ou 3pi/4 ou 5pi/4.

J'y suis allé de manière plus bourrine et je ne trouve pas deux des solutions trouvées, j'aimerais savoir ou je me suis trompé. Bon déjà le module de z c'est 1. Ensuite arg(z^4)=arg(i^2) mod 2pi. D'où par addition, 2arg(z)=arg(i) mod 2pi. arg(i)=pi/2+2kpi. D'où z=pi/4+kpi (mod2pi). Et là on trouve que la solution pi/4 et 5pi/4.
Où me suis-je planté ?
D'ailleurs est-ce que le raisonnement est bien rédigé ? Je m'explique quand mon prof fait la division par x quand on a xarg(z)=0 (2pi), il divise la congruence modulo 2pi par x et l'écrit ensuite les valeurs possibles de l'argument en fonction de k, et s'arrête quand il retombe sur le même résultat modulo 2pi. Je fais sensiblement pareil sauf qu'à la place j'écris arg(z)=2kpi/x (mod 2pi) et ca me gêne car c'est comme si j'écrivais deux congruences en même temps alors que mon prof omet le 2pi, et ajoute la justification donnée plus haut quand il retombe sur le même argument modulo 2pi. Je voulais juste savoir si cette écriture était valide ?

Dernière question, est-il important de calculer l'argument principal d'un nombre complexe où avoir des 5pi/4 ne pose pas de problème (c'est pour me simplifier la vie).

Up

Up

Pour le premier exo c'est un cercle, et pour le 2e tu t'es trompé à la simplification:
4arg(z) = 2arg(i) mod 2pi
=> 2arg(z)=arg(i) mod pi

ca sert a rien de mettre du latex mal formate qui rend les choses moins claires qu'en ecriture normale. Et ca sert a rien non plus de upper autant

La conditions sur l'argument pour que Z soit imaginaire c'est qu'il soit compris congru a pi/2 modulo pi, pas modulo 2pi (pi/2 modulo 2pi ne represente que les nombres de partie imaginaire positive).

Pour interpreter la relation sur l'angle BM,AM ; c'est deja plus simple de l'interpreter comme un angle en M ( l'angle entre MB et MA). Ensuite tu peux te servir du fait que si un triangle est rectangle, le cercle circonscrit admet son hypotenuse comme diametre (et la recriproque). Ici, tu as un triangle rectangle en M avec AB comme hypotenuse; essye de voir ce que ca donne geometriquement.

Pour la deuxieme question, il faut revenir a ce que veut dire la notation des congruences.

n*a = b [2 pi] veut dire: il existe un entier naturel k tel que n*a = b + 2*k * pi
Si tu divises maintenant par n, la relation donne: a = b/n + 2*k*pi/n
Donc en revenant a la notation: a = b/n [2 pi/n]
(je comprends pas pourquoi se compliquer la vie a garder longtemps un argument de i2 alors que tu pourrais directement ecrire que ca vaut pi)

Merci beaucoup à vous deux, c'est bien plus clair maintenant