Je dois donner la valeur des intégrales suivantes en effectuant le moins de calculs possibles et en utilisant les variables à densité (il n'y a pas d'énoncé particulier, la question est comme je l'ai écrite) :

$\int_{0}^{+\infty }{t²e^{\frac{-t}{2}}}dt$

$\int_{0}^{+\infty }{e^{-t²}}$

je vois bien qu'il faut s'aider des lois exponentielle, normale ou loi gamma, mais j'ai essayé plusieurs combinaisons avec différents paramètres, et essayé de mettre en lien avec l'espérance/variance de chaque mais je trouve pas..

d'ailleurs je sais bien que la 2eme est une intégrale de Gauss valant 1/2*sqrt(pi) mais même avec ça je vois pas comment articuler avec les fonctions densité

J'imagine que dans cette exercice tu dois partir de:
integrale de (densite de proba classique) = 1
et transformer ca pour arriver aux integrales que tu dois trouver
Cette transformation ca peut simplement etre de choisir correctement les bons parametres qui definissent la loi, ou un changement de variable dans l'integrale

La premiere peut se relier a une distribution gamma, la seconde a une loi normale

1) Moment d'ordre deux d'une variable qui suit une loi exp. de param 1/2
2) Loi normale centrée d'écart type 1.

Le 09 décembre 2018 à 18:59:29 LeRSASanglier a écrit :
1) Moment d'ordre deux d'une variable qui suit une loi exp. de param 1/2
2) Loi normale centrée d'écart type 1.

J'ai essayé ainsi mais j'aboutis à rien :

Pour, la 1) j'arrive à

$\frac{1}{2}\int_{0}^{+\infty }{(x-\frac{1}{2})²e^{-\frac{x²}{2}}}dx$ mais bloqué après

Et pour la 2) je n'arrive pas à éliminer le le 2 qui divise le t² dans l'expression de la fonction densité pour faire apparaître justement le $e^{-t²}$ de l'expression demandée

tu peux choisir la variance correctement, ou faire un changement de variable

Le 09 décembre 2018 à 19:25:11 blue-tamere a écrit :
tu peux choisir la variance correctement, ou faire un changement de variable

Qu'entends-tu par "choisir correctement" ? A partir du moment où le paramètre est 1/2 la variance vaut forcément 4 non?

Une loi normale de valeur moyenne nulle ~exp(-x^2/(2sigma^2))
Si tu veux te ramener a exp(-x^2), tu poses dans ton integrale y = x/(sqrt(2)*sigma) ; ou bien tu prends sigma tel que x^2/(2sigma^2) = x^2