Salut
J'ai deux ensembles convexes A et B
Je dois montrer à un moment que C ={(1-t)a+tb, a€A,b€B,t€[0,1]} est connexe
Je prend donc deux points de C et j'essaie de montrer que le segment entre les deux est encore dans C
Or quand je fais ça, je ne vois pas comment réécrire l'écriture obtenue de façon à montrer que c'est dans C
Une idée de comment procéder ? (Ou s'il y a une autre méthode)
Je vous remercie

Bah tu fixes t' et tu prends un segment de la forme t'c + (1-t')c'

Oui ça je l'ai fais mais ducoup après je ne vois pas en continuant le calcul comment aboutir

Tu prends c et c' dans C.
Tu as donc a,a' dans A et b,b' dans B tels que
c est dans le segment [a,b] et c' dans le segment [a',b'].
c = t.a + (1-t)b
c'= t'a' + (1-t')b'

Tu prends 0<t"<1, et tu regardes c" = t"c+(1-t")c'
En développant les calculs, tu vas trouver :
c" = t".t.a + (1-t").t'.a' + t"(1-t).b + (1-t").(1-t').b'
Or, tu as que : t".t + (1-t").t' + t".(1-t) + (1-t").(1-t') = t".1 + (1-t").1 = 1.
Donc, en posant s = t".t + (1-t").t', tu as 0<s<1, et (1-s) = t".(1-t) + (1-t").(1-t').

Cela donne :
c = s.[ (t".t/s).a + ((1-t").t'/s).a'] + (1-s)[ ( t"(1-t)/s).b + ((1-t")(1-t')/s).b']
c = s.a" + (1-s).b"

Par choix de s, on a bien (t".t/s) et ((1-t").t'/s) positifs, avec (t".t/s)+((1-t").t'/s) = s/s = 1.
Donc, a" est une combinaison convexe de a et a', donc c'est un élément de A.
Idem pour b" qui sera dans B.

Donc, c" est dans C comme combinaison convexe de a" et b".

Enfin, c'est juste des calculs bateau de combinaisons convexes pour voir que quand on prend ABB'A' un quadilatère, la combinaison convexe de deux points sur AB et B'A' est aussi la combinaison convexe de deux points sur A'A et BB'.

Tu dois montrer que C est connexe ou convexe ?