Desoler d'avance mais les permutations etc c'est tout nouveau pour moi.

Soit p un nombre premier. Soient T une transposition et P un p-cycle dabs Sp.On veux montrer que P et T engendre Sp.

1)Soit g dans Sp , Mq: P et T engendre Sp <=> gPg^-1 et gTg^-1 engendre SP . En deduire de l'on peux supposer T=(1 2)

Du coup j'ai fais la première partie mais je ne comprend pas la deuxième partie.

Je sais que T=(1 2) et P= ( 1 2 .... n ) engendre Sn
car PTP^-1 = (2 3) ainsi de suite

Mais la si par exemple on a un P = ( a1 a2 ..... an) et on met on met au hazard 1 et 2 parmis les ak , il me semble que avec T=(1 2 ) on ne peux pas engendrer Sp.

A priori pour que cela marche il faut que 1 et 2 ce suivent dans P mais rien dans la definition d'un cycle ne contraint à cette disposition.

Mais la si par exemple on a un P = ( a1 a2 ..... ap) et on met on met au hazard 1 et 2 parmis les ak , il me semble que avec T=(1 2 ) on ne peux pas engendrer Sp.

Correction

Pour la question 1), on suppose que P et T engendre Sp et on va montrer qu'en les conjuguant par g, ça va toujours engendrer Sp. On prend une permutation s de Sp et on doit montrer qu'on peut l'écrire à partir de gPg^-1 et gTg^-1
Ce n'est pas très dur de montrer que le groupe engendré par P et T sont les éléments qui s'écrivent comme de un produit fini de P et T.
Puisque P et T engendre Sp, on peut écrire g-1 s g = produit des t_i avec chaque t_i qui est soit P soit T.
On a alors s = produit des g t_i g^-1 .

Pour la réciproque, il suffit d'appliquer le sens qu'on vient de montrer mais en prenant cette fois ci g^-1 au lieu de g.

Une fois qu'on a fait ça, notre transposition T = (a b) se transforme en la transposition (1 2) en utilisant la propriété qu'on vient de démontrer avec g = (1 a) ( 2 b) ; gPg^-1 reste lui bien p-cycle que je vais continuer à noter P sans perte de généralité.

Maintenant comme tu dis, on a un p cycle mais on sait pas du tout à quoi il ressemble et on aimerait se ramener à (1 2 3 ... p). Pour cela, puisque c est un p cycle, il existe un k plus petit que p tel que P^k envoie 1 sur 2. Et c'est là que p premier intervient, P engendre un groupe isomorphe à Z/pZ donc d'après Lagrange, P^k est toujours un p cycle.
P^k s'écrit donc (1 2 a_1 a_2 .... a_(p-2)). Il suffit donc de réutiliser notre propriété avec g tel que g(a_1) = 3 , g(a_2) = 4 ...

Puisque T est à support disjoint avec g, il n'est pas modifié lorsqu'on le conjugue par g.

Le 27 novembre 2018 à 18:52:14 Sureminence a écrit :
Pour la question 1), on suppose que P et T engendre Sp et on va montrer qu'en les conjuguant par g, ça va toujours engendrer Sp. On prend une permutation s de Sp et on doit montrer qu'on peut l'écrire à partir de gPg^-1 et gTg^-1
Ce n'est pas très dur de montrer que le groupe engendré par P et T sont les éléments qui s'écrivent comme de un produit fini de P et T.
Puisque P et T engendre Sp, on peut écrire g-1 s g = produit des t_i avec chaque t_i qui est soit P soit T.
On a alors s = produit des g t_i g^-1 .

Pour la réciproque, il suffit d'appliquer le sens qu'on vient de montrer mais en prenant cette fois ci g^-1 au lieu de g.

Une fois qu'on a fait ça, notre transposition T = (a b) se transforme en la transposition (1 2) en utilisant la propriété qu'on vient de démontrer avec g = (1 a) ( 2 b) ; gPg^-1 reste lui bien p-cycle que je vais continuer à noter P sans perte de généralité.

Maintenant comme tu dis, on a un p cycle mais on sait pas du tout à quoi il ressemble et on aimerait se ramener à (1 2 3 ... p). Pour cela, puisque c est un p cycle, il existe un k plus petit que p tel que P^k envoie 1 sur 2. Et c'est là que p premier intervient, P engendre un groupe isomorphe à Z/pZ donc d'après Lagrange, P^k est toujours un p cycle.
P^k s'écrit donc (1 2 a_1 a_2 .... a_(p-2)). Il suffit donc de réutiliser notre propriété avec g tel que g(a_1) = 3 , g(a_2) = 4 ...

Puisque T est à support disjoint avec g, il n'est pas modifié lorsqu'on le conjugue par g.

Merci pour ta réponse , je vais prendr emon temps pour tout comprendre

Hum je ne comprend pas trop cette partie :

"Une fois qu'on a fait ça, notre transposition T = (a b) se transforme en la transposition (1 2) en utilisant la propriété qu'on vient de démontrer avec g = (1 a) ( 2 b) ; gPg^-1 reste lui bien p-cycle que je vais continuer à noter P sans perte de généralité."

On a demontré :
Sp = < P , T> <=> Sp =< gPg-1 , gTg-1 >
Tu dis utiliser cette propiété mais je en comprend pas la logique.

Car la tu choisis un g particulier pour "transformer" (a b ) en (1 2) , mais la propriété n'est justement pas censé marché avec n'importe qu'elle g ?

ça c'etait la question logique mais sinon je comprend pas quand tu dit que tu utilise la prop ,
car
si g= (1 a) ( 2 b) et T= (1 2)
on vois que gTg-1 = ( a b)

du coup par exemple si on suppose que P et T engendre Sp et g= (1 a) ( 2 b) et T= (1 2)
et soit s dans Sp , on a
g-1sg = P^i T^j.............
s = g P^i T^j.............g-1
s = g P^ig-1g T^j.............gg-1
s = (g Pg-1)^i(g Tg-1)^j.............

mais la (g Tg-1)^j = (a b)^j donc on a => Sp engendré par (g Pg-1) et T'= ( a b)

La propriété est vraie pour tout g donc je peux en choisir un en particulier.

En fait, j'utilise la propriété de droite à gauche et pas de gauche à droite ; si je montre que (1 2) et gTg^-1 engendrent Sp alors (a b) et T engendrent Sp. Sinon comme j'ai dis, tu peux remplacer g par g^-1 pour aller dans l'autre sens, l'idée de la propriété c'est : "je peux conjuguer ma transposition et mon p cycle par la même permutation sans changer le problème".

Et j'ai pas compris ton problème après, tu supposes que T = (1 2) et P engendrent Sp et tu montres que ça implique que gPg^-1 et (a b) engendrent Sp mais c'est cool, c'est exactement ce qu'on veut puisque je démontre que (1 2) et P engendrent Sp donc j'obtiens bien ce que l'exercice me demande de montrer

Hum je m'enbrouille pour faire simble mathématiquement pour montrer que T= (1 2) , que faut-il faire?

Genre montrer que avec un certain g ( (1 a)(2 b))

(a b) et P engendre Sp <=> ( 1 2) et P engendre Sp

ou du coup vu ce que l'on a montré (la prop)

gPg-1 et g(a b)g-1 engendre Sp <=> (1 2) et P engendre Sp

C'est la que je en comprend pas le raisonnement
moi j'ai montré

(1 2) et P engendre Sp => (a b) et gPg-1 engendre Sp .

Tu peux expliquer le raisonnement logique ?

Mais on a pas besoin de montrer que (a b) et gPg-1 engendre Sp => (1 2) et P engendre Sp

Mais si tu veux vraiment le montrer (même si on a pas besoin), tu refais exactement ta démonstration en supposant cette fois ci que (a b) et gPg^-1 engendre Sp et en prenant g = (a 1) (b 2) car on a g(a b)g^-1 = (1 2).

g^-1 s g = produit de (ab) et gPg^-1 .... et tu déroules comme tout à l'heure.

Le 27 novembre 2018 à 20:49:43 Sureminence a écrit :
Mais on a pas besoin de montrer que (a b) et gPg-1 engendre Sp => (1 2) et P engendre Sp

Mais si tu veux vraiment le montrer (même si on a pas besoin), tu refais exactement ta démonstration en supposant cette fois ci que (a b) et gPg^-1 engendre Sp et en prenant g = (a 1) (b 2) car on a g(a b)g^-1 = (1 2).

g^-1 s g = produit de (ab) et gPg^-1 .... et tu déroules comme tout à l'heure.

1er ligne : je suis d'accord , j'ai ecrit ça en cherchant à utiliser la prop au pif avec le bon g et (1 2)
essai de résumer en une implication cette ligne :

"Une fois qu'on a fait ça, notre transposition T = (a b) se transforme en la transposition (1 2) en utilisant la propriété qu'on vient de démontrer avec g = (1 a) ( 2 b) "

c'est la exactement que je bloque

Et je suis d'accord, tu as montré que : (1 2) et P engendre Sp => (a b) et gPg-1 engendre Sp et c'est seulement de ça qu'on a besoin.
Une manière équivalente d'écrire cette proposition est : (1 2) et g^-1Pg engendre Sp => (a b) et P engendre Sp. Comme g^-1Pg reste un p cycle bah on a juste à montrer que (1 2) et un p cycle engendre Sp, c'est pour ça que j'ai dis que sans perte de généralité je notais juste P au lieu de g^-1Pg par la suite, puisque les deux sont des p cycle quelconques.

"Une fois qu'on a fait ça, notre transposition T = (a b) se transforme en la transposition (1 2) en utilisant la propriété qu'on vient de démontrer avec g = (1 a) ( 2 b) " veut dire :
(1 2) et un p cycle engendrent Sp => (a b) et un p cycle engendrent Sp.
Ainsi, il me suffit de montrer que (1 2) et un p cycle engendrent Sp (qui est plus facile car je m'embête plus avec a et b) et j'aurais terminé l'exercice.

Le 27 novembre 2018 à 21:00:10 Sureminence a écrit :
"Une fois qu'on a fait ça, notre transposition T = (a b) se transforme en la transposition (1 2) en utilisant la propriété qu'on vient de démontrer avec g = (1 a) ( 2 b) " veut dire :
(1 2) et un p cycle engendrent Sp => (a b) et un p cycle engendrent Sp.
Ainsi, il me suffit de montrer que (1 2) et un p cycle engendrent Sp (qui est plus facile car je m'embête plus avec a et b) et j'aurais terminé l'exercice.

mais si je te comprend il suffit de "montrer que (1 2) et un p cycle engendrent Sp" mais c'est justement un probleme ça , comment on fait ça ?

Le 27 novembre 2018 à 18:52:14 Sureminence a écrit :
Maintenant comme tu dis, on a un p cycle mais on sait pas du tout à quoi il ressemble et on aimerait se ramener à (1 2 3 ... p). Pour cela, puisque c est un p cycle, il existe un k plus petit que p tel que P^k envoie 1 sur 2. Et c'est là que p premier intervient, P engendre un groupe isomorphe à Z/pZ donc d'après Lagrange, P^k est toujours un p cycle.
P^k s'écrit donc (1 2 a_1 a_2 .... a_(p-2)). Il suffit donc de réutiliser notre propriété avec g tel que g(a_1) = 3 , g(a_2) = 4 ...

Puisque T est à support disjoint avec g, il n'est pas modifié lorsqu'on le conjugue par g.

Je vais écrire ce que l'on sait / ce que je comprend ,

on a gPg-1 (= P) et ( a b) engendre => P et (1 2) engendre car (a b) = g(1 2)g-1

Oé et après dans le message que je viens de citer je montre que P et (1 2) engendrent => (1 2 3 ... p) et (12) engendrent

Le 27 novembre 2018 à 21:21:03 Sureminence a écrit :

Le 27 novembre 2018 à 18:52:14 Sureminence a écrit :
Maintenant comme tu dis, on a un p cycle mais on sait pas du tout à quoi il ressemble et on aimerait se ramener à (1 2 3 ... p). Pour cela, puisque c est un p cycle, il existe un k plus petit que p tel que P^k envoie 1 sur 2. Et c'est là que p premier intervient, P engendre un groupe isomorphe à Z/pZ donc d'après Lagrange, P^k est toujours un p cycle.
P^k s'écrit donc (1 2 a_1 a_2 .... a_(p-2)). Il suffit donc de réutiliser notre propriété avec g tel que g(a_1) = 3 , g(a_2) = 4 ...

Puisque T est à support disjoint avec g, il n'est pas modifié lorsqu'on le conjugue par g.

Du coup la tu as seulement démontré que l'on peux supposer T= (1 2) ?!

Tout ce qu'il y a avant "maintenant" = on peut supposer T = (1 2).
Tout ce qu'il y a après "maintenant" = on peut supposer P = (1 2 ... p)

Le 27 novembre 2018 à 21:26:54 Sureminence a écrit :
Tout ce qu'il y a avant "maintenant" = on peut supposer T = (1 2).
Tout ce qu'il y a après "maintenant" = on peut supposer P = (1 2 ... p)

OK ok donc

P et T engendre Sp avec g= (1 a) ( 2 b) et T= (1 2)

=> Sp engendré par (g Pg-1)(=P) et T'= ( a b)

c'est ça la réponse concretement c'est d'ailleur ce que tu as ecrit plus haut si je ne m'abuse
Je crois avoir compris khey , merci beaucoup pour ta patience ..