Salut.

J'ai deux, trois questions.

Ici, c'est quoi le sens de [f*phi] ? Normalement, ça devrait être f(b)*phi(b)-f(a)*phi(a) mais phi n'est pas définie en b et en a. Du coup, est ce que je dois faire l'intégrale sur [A,B] strictement inclus dans ]a,b[, me rendre compte que le crochet est nul pour A et B assez proche respectivement de a et b, puis de faire tendre A et B ?

Et dans ce cas, l'intégrale sur [A,B] tend bien vers l'intégrale sur ]a,b[ ? Je peux passer aux limites dans les bornes ?

• Pourquoi dans R^2, c'est une norme ? (Désolé photo penchée)

Enfin pourquoi ca vérifie l'inégalité triangulaire ?

• Est ce que si f appartient à Lp pour tout p dans [1, +00] alors ||f|| = lim ||f||p où ||.|| est la norme infinie ?

Merci !

$C^{\infty}_0$ cette notation pour toi c'est les fonctions infiniment dérivable à support compact ? Dans ce cas ton crochet vaut 0
pour ta deuxieme question ça revient à montrer ce qu'on appelle l'inégalité de minkowski tu peux trouver une preuve ici https://en.wikipedia.org/wiki/Minkowski_inequality
pour ta dernière question oui c'est vrai

Comment je prouve la dernière question ?

Sinon merci.

Tu peux faire comme ceci:
D'abord tu essaies de majorer $||f||_{L^p}$ par un truc qui tend vers $||f||_{L^{\infty}}$ quand $p \to +\infty$
Ensuite tu essaies de minorer $||f||_{L^p}$ par un truc qui va tendre aussi vers ça
pour la majoration c'est pas très compliqué je te laisse y réfléchir, pour la minoration tu peux essayer de considérer les ensembles $A_{\varepsilon}=\{x \in X : |f(x)|>||f||_{L^{\infty}} -\varepsilon \}$ pour $\varepsilon >0$, essaie d'abord de justifier pourquoi cet ensemble n'est pas de mesure nulle, ensuite tu devrais réussir à minorer ta norme

Salut je reviens sur mes questions.

Je comprends pas comment utiliser Minkowski pour montrer l'inégalité. En admettant que la norme dans Lp est bien une norme, et en utilisant (a+b)^p < 2^(p-1)*(a^p + b^p) j'arrive quand même pas à conclure.

Enfin je n'ai pas trouvé la majoration pour ma dernière question.

Merci.

Fais d'abord dans le cas d'une mesure finie, on trouve facilement une majoration dans ce cas là. Quand elle n'est pas finie, je ne pourrai pas t'aider par contre.

Il ne faut pas utiliser Minkowski pour montrer l'inégalité, c'est justement Minkowski qu'il faut montrer !