On ne calcul que très rarement le polynôme caractéristique pour diagonaliser. C'est long, c'est chiant et pas du tout efficace.
On cherche d'abord des valeurs propres évidentes. Notons (e1,e2,e3) les vecteurs de la base canonique et u l'endomorphisme canoniquement associé à ta matrice. On va chercher si il y existe des valeurs propres évidentes par C.L des colonnes: par exemple en prenant les colonnes 2 et 3 on ne veut plus de "e1" on va calculer 6*u(e2)-u(e3) (qui donne bien 0 pour la composante e1).
On a: 6*u(e2)-u(e3)=12*e2+e3 dommage celà ne fonctionne pas. Par contre tu sais aussi que les valeurs propres sont les même pour la transposée. Et donc tu peux aussi chercher sur les lignes et là on voit bien que L1+L2 donne une valeur propre 2.
Tu peux donc chercher un (ou potentiellement plusieurs) vecteur(s) propre(s) associé(s) à la valeur propre 2 (en faisant A-2I).
En connaissant ces vecteurs propres évidents, tu réduis le temps de calcul en effectuant les opérations sur ton polynôme caractéristique (si le calcul de ce dernier reste nécessaire, ce qui est parfois le cas). Exemple là tu as e1-e2-e3 qui est un vecteur propre donc effectuer C1-C2-C3 sur le calcul du polynôme caractéristique te réduira les calculs.
C'est, à mon sens, la manière la plus optimale de procéder car tu peux diagonaliser sans calcul du polynôme caractéristique. Le seul risque est de perdre un peu de temps si tu ne trouves pas (ne pas s'acharner deux heures...)
