Rebonsoir,

Je galère un peu avec le chap sur la diagonalisation, comment exprimer la dimension du sous espace propre associé à k d'un endomorphisme de E (où k est une valeur propre), en fonction du rang de A (où A est la matrice représentative de f) ?

et de manière générale si k est valeur propre de A que peut-on dire de la dim du sous espace propre associé à k ?

J'ai pas vraiment compris la première question, je sais pas si c'est faisable en vrai.
Sinon tu as 1<=dim Ek<=m(k) où m(k) est la multiplicité de k dans le polynôme caractéristique de A, ou encore la dimension du sous espace caractéristique associé à k, la voyant comme ça l'inégalité devient claire.

Si k est valeur propre de A, tu peux dire que la dimension de l'espace propre associé est entre 1 et la multiplicité de la valeur propre. Avec le rang, la dimension de E_k est n - rg(A) où n est le nombre de lignes/colonnes de A.

Le 17 novembre 2018 à 22:17:28 DonDoritos a écrit :
Si k est valeur propre de A, tu peux dire que la dimension de l'espace propre associé est entre 1 et la multiplicité de la valeur propre. Avec le rang, la dimension de E_k est n - rg(A) où n est le nombre de lignes/colonnes de A.

Comment on parvient à E_k = n - rg(A) ?

Vu ton pseudo, normal que tu ne comprennes pas l'OP

Le 17 novembre 2018 à 22:22:12 _Franck_Ribery_ a écrit :

Le 17 novembre 2018 à 22:17:28 DonDoritos a écrit :
Si k est valeur propre de A, tu peux dire que la dimension de l'espace propre associé est entre 1 et la multiplicité de la valeur propre. Avec le rang, la dimension de E_k est n - rg(A) où n est le nombre de lignes/colonnes de A.

Comment on parvient à E_k = n - rg(A) ?

C'est le théorème du rang

On a dim(E) = dim (Ker(f)) + dim (Im(f))
= dim (Ker(f)) + rg(A)

Mais E_k = Ker(f-k*Ide) pas Ker(f) non? c'est là que je comprends pas

Je vois pas autre chose que dim (Ker(f)) = n - rg(A) en fait

Ah oui pardon c'est rg(A- k.I) et pas rg(A)

Mais pour étudier dim (E) il faut prendre l'endormorphisme f, ça marche pas si on "remplace" f par (f - k*Ide) non ?

On peut pas écrire dim (E) = dim (Ker(f - k*Ide)) + rg (A - k*Ide) si ?

Ben si car f - k id reste un endomorphisme de E, le théorème du rang s'applique encore

Le 17 novembre 2018 à 22:59:30 DonDoritos a écrit :
Ben si car f - k id reste un endomorphisme de E, le théorème du rang s'applique encore

Ah d'accord, encore merci du coup