Salut,
Bon c'est pas très malin de nommer cette quantité Y_n, parce que Y_n c'est ta n-ième simulation. 
Disons X_n alors. Donc ton intervalle de confiance c'est [ X_n - q*sqrt(V(Y))/n ; X_n + q*sqrt(V(Y))/n ].
Remarque déjà que cet intervalle est aléatoire. En effet ses bornes dépendent de X_n, la moyenne empirique des Y_i, qui est aléatoire. E(Y) lui il est fixé, c'est une valeur qui tu connais pas, que tu cherches à estimer, mais qui n'est pas aléatoire.
Donc si tu fais de nouvelles simulations, l'intervalle de confiance il va changer à chaque fois. Des fois il va contenir la valeur que tu cherches, c'est-à-dire E(Y), et des fois non. C'est aléatoire. Par contre on sait que la proba qu'il contienne E(Y) c'est 0.95 (enfin quand n est assez grand, parce que c'est un intervalle de confiance asymptotique qui repose sur le TCL).
Prenons un exemple. Je simule 100 réalisations d'une loi exponentielle de paramètre 1 (on sait que son espérance c'est 1, mais supposons qu'on la connaisse pas, c'est juste pour illustrer). Je calcule mon intervalle de confiance à 95%.
Je tombe sur [0.84 ; 1.23 ]. Celui-là il contient E(Y). Je refais 100 nouvelles simulations. Cette fois je tombe sur [0.74 ; 1.14]. Là aussi il contient 1. Je peux continuer longtemps comme ça. Si je le fais 1000 fois, je vais obtenir 1000 intervalles différents, et ce qu'on te dit c'est qu'en gros sur ces 1000 intervalles, 950 vont contenir 1.
L'erreur commise c'est l'écart entre la valeur que tu recherches, E(Y) et son estimateur, X_n. Evidemment on connaît pas l'erreur (sinon on connaîtrait aussi E(Y)), par contre on connaît sa distribution de probabilité. Le TCL te dit que quand n est assez grand, cette erreur suit approximativement une loi normale centrée, de variance V(Y)/n.
Et en quoi prendre une va de variance plus petite sera intéressant ? Car peut être que mon terme V(Y)/n sera plus petit mais mon Yn sera devenu un Zn non ?
Je comprends pas bien la question. A priori si tu remplaces Y par Z, c'est E(Z) que tu vas estimer, et non plus E(Y). A moins de prendre Z telle que E(Z) = E(Y). Auquel cas oui, c'est avantageux parce que tu vas continuer à estimer E(Y), mais avec un intervalle de confiance plus étroit, donc tu gagnes en précision.
