Bonjour,

Soit A = \begin{pmatrix}
2 & -1 & 2 \\
5 &-3 &3 \\
-1& 0 &-2
\end{pmatrix}

où A représente un endomorphisme f canoniquement associé à A

Comment montrer que A est semblable à B = \begin{pmatrix}
-1 & 0 & 0 \\
1 &-1 &0 \\
0& 1&-1
\end{pmatrix}

après avoir déterminé trois vecteurs x, y et z tels que f(z) =-z , f(y) =z-y et f(x) = y-x

Je vois bien qu'il y a un truc à faire avec le fait que deux matrices semblables représentent le même endomorphisme mais je vois pas comment remplacer la base

Si on note les coordonnées des vecteurs x=(x_1,x_2,x_3) etc.
On peut écrire la matrice de passage
$$P=\begin{pmatrix}x_1&y_1&z_1\\ x_2&y_2&z_2\\ x_3&y_3&z_3\end{pmatrix}\:$$

Et par la formule du changement de base, on sait que $$B=P^{-1}AP$$

Le 18 novembre 2018 à 10:53:26 atemutest a écrit :
Si on note les coordonnées des vecteurs x=(x_1,x_2,x_3) etc.
On peut écrire la matrice de passage
$$P=\begin{pmatrix}x_1&y_1&z_1\\ x_2&y_2&z_2\\ x_3&y_3&z_3\end{pmatrix}\:$$

Et par la formule du changement de base, on sait que $$B=P^{-1}AP$$

Mais là ça conduit à résoudre un système très long non? il y a pas plus rapide?

Non mais tu l'as ta matrice P en écrivant tes vecteurs x y et z en colonne.

Ah mais j'avais pas compris comme ça, quelle est la méthode pour trouver les vecteurs x, y et z du coup?

z est propre associé à -1.
Pour trouver les deux autres tu peux remarquer que A+I est nilpotente d'ordre 3

Je pense en effet qu'on ne lui demande pas un calcul brut de P. Dans ce cas c'est ton cours sur la réduction des endomorphismes.
Comme le dit mon VDD, tu as une valeur propre triple (-1) donc (X+1)^3 annule la matrice. Donc A+I est bien nilpotente d'ordre 3.
Comme la matrice A+I est nilpotente d'ordre 3 (donc non nulle avant) il existe un vecteur x tel que u^3(x)=0 et u^2(x) soit non nul (avec u canoniquement associé à A+I).
De la tu peux construire une base (x,u(x),u²(x)) (Tu montres facilement que c'est une base en prenant une C.L et en appliquant u² puis u).Tu n'as plus qu'à écrire A+I dans cette base en calculant u(ei) avec (e1,e2,e3) la base précédente.
Tu peux donc écrire A dans cette nouvelle base et tu obtiens P en écrivant correctement le changement de base.

Normalement la trigonalisation est développée dans ton cours, en général on regarde les différents cas: 1 valeur propre d'ordre n, 2 valeurs propres différentes...