Bonjours, j'aimerai trouver les valeurs de z/ $(z^2-z-1)^2+(2z-1)^2=0$
J'ai tout d'abord penser au fait qu'une des solutions évidentes, serait que $\left\{\begin{matrix}
z^2-z-1=0 & \\ 2z-1=0
&
\end{matrix}\right.$ d'où $z=1/2$ ce qui ne va pas avec la première équation.

Nous sommes dans les complexes, donc on peut avoir des carrés négatifs. Si $z=x+iy$ on aura dans le premier membre du $i^4$ et dans le second de $i^2$. De ce fait, ils ne reste plus qu'à chercher le sytème suivant $\left\{\begin{matrix}
z^2-z-1=ki^2 & \\ 2z-1=ki
&
\end{matrix}\right.$ avec k que l'on déterminera par la suite. On trouve en utilisation l'équation de degré 1 que $z=1/2+ki/2$. En remplaçant le résultat dans l'équation de degré 2 on trouve $k^2-4k+5=0$
D'où k=1 ou k= 3. Donc les solutions du système sont $z_1=1/2+1/2i$ ou $z_2=1/2+3i/2$.

Or qql m'a dit qu'il a tout développé, et qu'il a trouvé i et -i comme racines évidentes, puis qu'il a identifié.

Où est-ce que je me suis planté ? Est-ce que mes solutions sont bonnes et comment ai-je pu en oublier deux ?
quand est-ce qu'on sait qu'il faut y aller de manière bourrine (développer, identification) et quand il faut y aller de manière plus visuelle comme je l'ai fait (mais j'ai oublié des solutions donc bon).

Dernière question sur les suites, les opérations sur les suites justifient-elles la convergence d'une suite ? par exemple, si j'ai une suite définit de manière explicité, et que je peux déterminer sa limite ai-je prouver qu'elle converge ? Je me rappelle avoir lu dans un manuel que rien que le fait d'écrire la lim de $Un$ si on a pas prouvé que Un convergeait était très maladroit.

je comprends même pas comment tu as trouvé ton système (celui avec le k*i je précise)

En fait c'est bon. j'ai trouvé de manière plus rigoureuse. K c'est un réel et on cherche un k qui remplisse, $k^2*i^4+k^2$i^2=0$

Le 07 novembre 2018 à 18:57:55 MecaFlu a écrit :
je comprends même pas comment tu as trouvé ton système (celui avec le k*i je précise)

Son idée c'est de dire qu'au lieu de prendre chaque polynôme égaux à 0 (ce qui n'admet aucune solution) on peut voir ça comme le fait que le premier polynôme s'écrit comme k*i² et le deuxième comme k*i, en faisant ça il a un nouveau système et si ce dernier admet des solutions alors elles seront solutions de l'équations puisqu'on aura (k*i²)²-(k*i)²=k²-k²=0.

Sinon tu as juste: (i²-i-1)²+(2i-1)²=(2+i)²+[i*(2+i)]²=(2+i)²-(2+i)²=0.
Tu as bien i et -i comme racines évidentes et tu as juste a factoriser

Ca sert a rien de mettre des signes $ si c'est pour pas formater le truc correctement, ca rend juste le truc moins lisible.

Pour cette equation, le plus simple ca a simplement l'air de factoriser en reconnaissant la forme a^2-b^2 (i^2=-1, donc a^2+b^2 se factorise aussi).

Pour la seconde question, ca depend de ce que tu fais... Si tu supposes que la limite existe et que tu trouves une valeur, ca ne veut pas dire que la suite tend vers cette valeur en effet.

Par exemple une suite definie par u(n+1)=u(n)^2-1; u(0)=10.
Si tu supposes que u(n) tend vers a, tu vas trouver une valeur finie pour a (solution de a=a^2-1). Pourtant, la suite diverge vers l'infini.