Bonjour,
Pourquoi si j'ai G = Z/4Z et H = {[0],[2]} alors G/H isomorphe à Z/2Z ?

Merci

card(G/H) = card(G)/card(H) = 2. Donc G/H est un groupe à 2 éléments, donc isomorphe à Z/(2Z).

Sinon t'as l'application de G dans Z/(2Z), qui à [x] associe [0] si x est pair, et [1] si x est impair. C'est un morphisme de groupes surjectif, de noyau H. D'après le théorème d'isomorphisme, ça implique que G/H est isomorphe à Z/(2Z).

Excellent merci

Autre question : C'est pour trouver Aut (Z/6Z).
En cours on a vu que si on prend f appartenant à Sym (3) et G = {e1,a1,a2,a3} alors :
f(ai*aj) = f(ai) * f(aj)
f(e*ai) = f(e) * f(ai)
f(ai*ai) = f(e) = f(ai) * f(ai)

Ensuite on a fait un raisonnement que je n'ai pas compris du tout :

f(1) = 1 => f(2)=2 ; f(3) = 3 ; f(4) = 4 ; f(5) = 5
Si f_2(1) = 2 => f_2(2) = 4 ; f_2(3) = 0
Si f_3(1) = 3 => f_3(2) = 0
Si f_4(1) = 4 => f_4(2) = 2 ; f_4(3) = 0
Si f_5(1) = 5 => f_5(2) = 4 ; f_5(3) = 3 ;
f_5(4) = 2 et f_4(5) = 1

Le truc c'est que je n'ai rien compris. Je sais qu'un automorphisme est un isomorphisme d'un espace vers lui-même, mais là je n'ai absolument pas compris ni l'intérêt, ni le raisonnement.

Le principe c'est de remarquer qu'un automorphisme f de Z/(6Z) = {0,1,2,3,4,5} est entièrement déterminé par f(1). Si tu connais f(1) tu peux déterminer les autres valeurs puisque comme c'est un morphisme pour x dans {2,3,4,5}, f(x) = x*f(1) mod 6.
Par exemple f(2) = f(1+1) = f(1) + f(1).

Merci grâce à toi j'ai enfin compris !

Par contre pourrais-tu me donner le lien entre
f(ai*aj) = f(ai) * f(aj)
f(e*ai) = f(e) * f(ai)
f(ai*ai) = f(e) = f(ai) * f(ai)

Et

f(x) = x*f(1) [6] ?

Car lorsque j'applique la première méthode, ça ne fonctinne pas

Je comprends pas trop le truc de ton cours. C'est quoi Sym(3) ? C'est quoi G ?

Désolé je croyais l'avoir écrit dans le sujet.
G c'est (Z/2Z)^2 et Sym(3) c'est le groupe symétrique.

Et apparemment à partir de ça on était censé en déduire la suite

f(x) = x*f(1) [6] se déduit de l'égalité que vérifient les morphismes de groupes : f(x*y)=f(x)*f(y).
Ici tu es dans un groupe additif, donc f(n)=f(1+...+1)=f(1)+...+f(1)=nf(1).

Ensuite pour ton cours, si G=(Z/2Z)^2, Sym(G) (qui est isomorphe à S_4 et non S_3), c'est les bijections de G dans G, endomorphismes et non endomorphismes inclus.

Retour à Z/6Z : on prend f un endomorphisme de G,
le raisonnement qui suit est une disjonction des cas :
Si f(1)=0 -> pas un isomorphisme car 1 appartient à Ker(f)
Si f(1)=1 => f(2)=2 ; f(3)=3 ; f(4)=4 ; f(5)=5 -> c'est bien un isomorphisme
Si f(1)=2 => f(3)=0 -> pas un isomorphisme car 3 appartient à Ker(f)
Si f(1)=3 => f(2)=0 -> pas un isomorphisme car 2 appartient à Ker(f)
Si f(1)=4 => f(3)=0 -> pas un isomorphisme car 3 appartient à Ker(f)
Si f(1)=5 => f(2)=4 ; f(3)=3 ; f(4)=2 ; f(5)=1 -> c'est bien un isomorphisme

Donc on a trouvé tous les automorphismes de Z/6Z : [x->x] et [x->5x].

Excellent merci à vous deux pour vos réponses, c'est plus simple comme ça