Dans mon cours, on dit que A est dense dans E si l'adhérence de A vaut E, cad que toute boule centrée sur un élément de E rencontre A ou que pour tout élément de E on peut trouver une suite d'élément de A qui converge vers cet élément de E

Mais je vois aussi parfois que la densité sur R (peut être plus généralement dans les espaces normés mais comme y'a pas de relation d'ordre en général ca 'na pas vraiment de sens) peut se montrer comme ci : entre deux éléments de R je peux trouver un élément de A ie si x,y € R alors il existe a€A tq x < a < y (ou y < a < x) .

Comment faire le lien entre les deux définitions?

Soient A dense dans R (au sens de ta dernière définition) et x un élément de R.
Pour tout n entier naturel, il existe x_n dans A tel que x < x_n < x+1/10^n.
On a donc une suite (x_n) d'éléments de A qui converge vers x, donc A est dense dans R au sens de ta première définition.

La densité sur R peut se voir d'une manière séquentielle aussi, c'est à dire que pour tout x réel, il existe deux suites dans A encadrant x et convergeant vers x, ce qui est à peu près équivalent à ton cours

Le 30 octobre 2018 à 22:22:46 BaikenShishido a écrit :
Soient A dense dans R (au sens de ta dernière définition) et x un élément de R.
Pour tout n entier naturel, il existe x_n dans A tel que x < x_n < x+1/10^n.
On a donc une suite (x_n) d'éléments de A qui converge vers x, donc A est dense dans R au sens de ta première définition.

le "Pour tout n entier naturel, il existe x_n dans A tel que x < x_n < x+1/10^n." c'est par hypothèse du " si x,y € R alors il existe a€A tq x < a < y (ou y < a < x) " avec y = x+1/10^n et a = x_n ?

Oui, c'est ça, j'ai supposé A dense au sens de cette définition là.

Du coup on a une implication, et j'imagine que c'est même une équivalence vu que si on a la densité, on a une suite d'élément de A qui tend vers (x+y)/2 donc à partir d'un certain rang entre x et y donc on a juste à prendre un de ces éléments .

Yes !

]x, y[ c'est une boule dans R donc tu dis juste que A rencontre toute boule