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Esperance conditionnelle

spongiibabuuuu
spongiibabuuuu
Niveau 5
20 octobre 2018 à 18:53:11

Salut,

Je cherche une démonstration de cette propriété :

E[X|F] >= E[Y|F] <=> Pour tout A de F, E[X1(A)] >= E[Y1(A)]

Le sens => est trivial mais la réciproque ...

Help please

Prauron
Prauron
Niveau 15
20 octobre 2018 à 19:07:07

Si on n'a pas presque sûrement E[X|F] >= E[Y|F], il existe A dans F, de mesure > 0, tel que E[X|F]1_A < E[Y|F]1_A, et donc E[E[X|F]1_A] < E[E[Y|F]1_A]. Or par définition de l'espérance conditionnelle, E[E[X|F]1_A] = E[X1_A]. D'où E[X1_A] < E[Y1_A].

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