Salut,

comment montrer que les sous-espaces propres d'une projection sont supplémentaires ?

Les espaces propres d'un endomorphisme sont toujours en somme directe. Si la question est de montrer qu'ils engendrent bien tout l'espace (et donc que ton projecteur est diagonalisable), tu peux soit écrire la matrice de ton projecteur dans une base adaptée à Ker p + Im p ou sinon tout simplement trouver un polynôme annulateur scindé à racines simples, ce qui n'est pas très dur

Le 07 octobre 2018 à 17:26:05 Sureminence a écrit :
Les espaces propres d'un endomorphisme sont toujours en somme directe. Si la question est de montrer qu'ils engendrent bien tout l'espace (et donc que ton projecteur est diagonalisable), tu peux soit écrire la matrice de ton projecteur dans une base adaptée à Ker p + Im p ou sinon tout simplement trouver un polynôme annulateur scindé à racines simples, ce qui n'est pas très dur

Sachant qu'on a pas encore vu la diagonalisation, je pense qu'il y a une façon plus ""simple"" de le montrer non?

mais sinon merci je vais me débrouiller avec ça

Si p est une projection t'as deux valeurs propres qui sont 0 et 1, et les deux sous-espaces propres sont ker(p) (associé à la vp 0) et Im(p) (associé à la vp 1).

Tu peux écrire, pour tout vecteur x, x = x - p(x) + p(x). Or x - p(x) appartient à ker(p), et p(x) appartient à Im(p). Donc t'as bien E = ker(p) + Im(p). Maintenant la somme est directe parce que si x appartient à l'intersection de ker(p) et Im(p), alors p(x) = 0, mais comme p(x) = x puisque x appartient à Im(p), x = 0.

Le 07 octobre 2018 à 18:08:14 Prauron a écrit :
Si p est une projection t'as deux valeurs propres qui sont 0 et 1, et les deux sous-espaces propres sont ker(p) (associé à la vp 0) et Im(p) (associé à la vp 1).

Tu peux écrire, pour tout vecteur x, x = x - p(x) + p(x). Or x - p(x) appartient à ker(p), et p(x) appartient à Im(p). Donc t'as bien E = ker(p) + Im(p). Maintenant la somme est directe parce que si x appartient à l'intersection de ker(p) et Im(p), alors p(x) = 0, mais comme p(x) = x puisque x appartient à Im(p), x = 0.

Ah c'est beaucoup plus clair là, il faut plus de gens comme toi dans ce monde, merci beaucoup