Hey,
question bête mais sachant que lorsque l'on calcul l'espérance E(X) d'une fonction quelconque on a E(X) = intégrale de a à b de x f(x) dx.. Mais pour calculer E(X^2) on change quoi? On met juste la fonction au carré? Ou bien le x on le transforme en x^2? Et sur une loi uniforme où du coup X est uniforme et donc f(x) ne dépend pas de x, on fait comment?

Bref j'ai pas vraiment compris si on pouvait m'expliquer ça serait sympa

Sous réserve que la variable aléatoire admet un moment d'ordre 2 on a E(X²) = intégrale de x²*f(x) dx. Plus généralement, si g(X) admet une espérance alors E(g(x)) = intégrale de g(x)f(x) dx c'est la formule de transfert.

C'est le x que tu transformes en x^2.

Et plus généralement, si t'as une fonction g et que tu veux calculer E[g(X)] ça donnera l'intégrale de g(x)f(x)dx.

Le 07 octobre 2018 à 17:53:55 Prauron a écrit :
C'est le x que tu transformes en x^2.

Et plus généralement, si t'as une fonction g et que tu veux calculer E[g(X)] ça donnera l'intégrale de g(x)f(x)dx.

Ok c'est clair merci!

Le 07 octobre 2018 à 17:53:20 Sureminence a écrit :
Sous réserve que la variable aléatoire admet un moment d'ordre 2 on a E(X²) = intégrale de x²*f(x) dx. Plus généralement, si g(X) admet une espérance alors E(g(x)) = intégrale de g(x)f(x) dx c'est la formule de transfert.

Et du coup dans quel cas on peut ne pas avoir un moment défini? J'ai du mal à trouver une fonction pour laquelle E(X^k) où une ou certaines valeur de k ne serait pas défini.

Par exemple la loi de Cauchy, de densité f(x) = (1/pi)*(1/(1+x^2)), n'admet pas de moment d'ordre 1.

Tu as aussi la loi de Pareto de paramètre a, donc la densité est définie sur [1,+oo[ par f(x) = 1/x^a (à constante près). Cette loi n'admet pas de moment à tout ordre, elle en admet plus ou moins en fonction de la valeur de a.

Le 07 octobre 2018 à 18:03:05 Prauron a écrit :
Par exemple la loi de Cauchy, de densité f(x) = (1/pi)*(1/(1+x^2)), n'admet pas de moment d'ordre 1.

Tu as aussi la loi de Pareto de paramètre a, donc la densité est définie sur [1,+oo[ par f(x) = 1/x^a (à constante près). Cette loi n'admet pas de moment à tout ordre, elle en admet plus ou moins en fonction de la valeur de a.

Ca marche merci, je vais regarder ces lois de plus près pour comprendre

Je pense pas qu'il faille faire un autre topic juste pour ça mais j'ai un exo dans ma brochure dont l'énoncé est le suivant:

Les variables aléatoires X et Y sont corréées négativement. Est-ce que Var(X + Y) est plus grand que Var(X - Y) ?

J'ai du mal à comprendre comment le faire, même en développant l'expression des deux variances ça paraît pas implicite.
Je me dis qu'il faut avoir un coefficient de correlation pour que ça ait du sens

C'est surement hyper simple mais je sais pas trop

Edit: Je pensais pouvoir déduire la réponse sans calcul complet mais en fait je crois que c'est obligatoire

$Var(X+Y) = Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y)$