Bonjour,
je n'arrive pas à faire ça : Le reste de la division de 2^2017 par 6.
Je ne l'ai pas trouvé dans un exo, je l'ai juste inventé pour m'entraîner
En cours, on a appris qu'on devait trouver un nombre 2^n qui était congru à 1 ou -1 modulo 6, pour ensuite décomposer 2017 et le mettre sous la forme de ce nombre.
Sauf qu'il n'y a pas de nombres 2^n dont le reste est 1 ou -1 modulo 6 mis à part 2^0 (mais bon avec 0 on ne peut pas décomposer 2017)
comment faire?

Ecris les restes de 1 a 10, tu devrais voir des propriétés intéressantes

tu veux dire que ça se répète tous les 2 ?
Comment le prouver rigoureusement ?

Je ne sais pas comment le prouver rigoureusement (si quelqu'un de plus expérimenté passe, je suis preneur) mais tu peux dire qu'on observe une période
Si n=2k, k appartenant à Z étoile
2^2k congru à 4 (mod6).
Si n=2k+1, 2^2k+1 est congru à 2 (mod 6).

2017 est impair, d'où 2^2017 congru à 2 (mod 6)

Merci
La question est donc maintenant de savoir comment prouver la période.

Tu peux procéder par récurrence.
Ton hypothèse serait, pour n un entier naturel non nul, 2^k = 2 mod 6 si k est impair et 2^k = 4 mod 6 si k est pair.
L'initialisation est directe pour k = 1 et je te laisse réfléchir à la preuve de l'hérédité.

malheureusement je ne connais pas encore le raisonnement par récurrence, merci quand même

C'est la seule manière propre de le prouver