Bonsoir, voici mon exercice : On pose An = $\sum_{k=1}^{n}k^6$ Montrer que Aindice 2009 est congru à 0 modulo 7. On a préalablement montré que tout nombre qui n'est pas divisible par 7 est congru à 1 modulo 7.

Voici ma rédaction: 2009/7=287. On a donc 287 nombres divisibles par 7 dans ma somme. Or, 7 congru à 0 modulo 7. Donc, il reste 2009-287 soit 1722 termes non divisibles par 7 dans ma somme. Donc A indice 2009 est congru à 1722 modulo 7. Or 1722 est congru à 0 modulo 7 Donc Aindince 2009 est congru à 0 modulo 7.

Je suis très peu fier de ma rédaction, très bourine et manuelle. Je ne suis même pas sûr que ça passerait à un examen. Auriez-vous des conseils/théorèmes, pour fluidifier cette rédaction très manuelle et la rendre moins calculatoire ? Merci

j'ai pas compris le raisonnement
et j'ai pas compris ca non plus: "On a préalablement montré que tout nombre qui n'est pas divisible par 7 est congru à 1 modulo 7." (entre 2 et 6 y'a deja quelques contre exemples)

Je pense qu'il voulait parler du petit théorème de Fermat : si 7 ne divise pas k, alors k^6 est congru à 1 mod 7.

Sinon je vois pas trop le problème avec cette preuve.

oui ok. Il faudrait surement ajouter quelque chose avant le "Donc A indice 2009 est congru à 1722 modulo 7" (repeter que c'est parce que tout ces nombres sont congrus a 1 modulo 7), mais a part ca y'a pas de soucis. Et c'est pas specialement calculatoire

Très bien alors, ce qui me dérangeait c'est cette aspect très manuel, peu théorique de on cherche si 7 divise 2009, on cherche le nombre de nombres non divisibles par 7 etc... je me demandais juste s'il y avait une méthode plus rapide

En général ce genre d'exo est conçu pour te faire utiliser les propriétés basiques des congruences (plus le fait que k^6 = 1 mod 7 si 7 ne divise pas k, qui n'est pas si évident que ça en terminale), donc c'est normal de faire les choses "à la main".

On trouve souvent des démonstrations élégantes en arithmétique (surtout comparées au reste des maths étudiées au lycée) mais malheureusement, en maths, on n'est jamais à l'abri de devoir faire un peu de calcul.