Salut !

Si H est un Hilbert réel et x € H.
Alors l'orthogonal du singleton x noté orth{x} est un sev fermé.

Et un supplémentaire de orth{x} est orth(orth{x})

Comment prouver que orth(orth{x}) = R*x = {y € H tqu'il existe t reel, y = t*x}

Merci !

En fait, ma question c'est plutôt pq :

{x} et R*{x} sont supplémentaires dans H.

Mais j'imagine que ça vient des propriétés énoncées plus haut.

Je comprends pas trop la question. {x} c'est même pas un sev, et R*{x} ça veut dire quoi ? Tu veux dire le sev engendré par x ?

L'orthogonal d'une partie c'est toujours un espace vectoriel fermé (facile à voir avec la continuité du produit scalaire) et l'orthogonal de l'orthogonal d'une partie c'est le plus petit espace vectoriel fermé qui contient cette partie. Le plus petit espace vectoriel qui contient {x} c'est Rx et c'est un fermé car de dimension finie.

Pourquoi c'est le plus petit sev fermé qui le contient ?

Ma question en gros Prauron c'était, quel est l'orthogonal de l'orthogonal de {a}.

Merci à vous !

Bah espace vectoriel par définition (c'est une intersection de noyaux) et plus petit fermé par définition de l'adhérence

C'était le "plus petit" qui me gêne
Je vois pas le rapport avec l'adhérence

Bah pour un espace vectoriel on a toujours que l'orthogonal de son orthogonal c'est son adhérence.