Bonsoir, voici l'énoncé de l'exercice
on considère la suite $U_(n+1)=\frac{1}{1+2U_n} et U_0=1$
Il y a tout un tas de question que je vous épargne sur diverses substitutions d'égalité, majoration etcetera...
Je vous met juste les infos importantes développées au cours de l'exo
1) $\leq U_n< 3 et \left | U_n-\frac{1}{2} \right |\leq \frac{3^n}{5^n}$

La dernière question qui me pose problème c'est de montrer que U_n est convergente, sachant qu'elle n'est ni arithmétique, ni géométrique.
J'ai eu deux idées. Je suppose qu'elle admet une limite l appartenant au réel. Dans la suite défini par récurrence je remplace légalité par la limite. J'ai donc $l=\frac{1}{2+l}$. J'obtiens l=-1/2, qui n'est pas possible vu ma minoration où l=1/2 ce que l'on confirme avec ma majoration plus haut.
Ce qui me gêne : je pars du postulat que j'ai une limite alors même que je n'ai pas prouvé la convergence de la suite. Cette méthode marche-t'-elle ?
'Deuxième méthode = j'étudie la monotonie de la suite U_n : problème, avec la majoration que j'ai, j'obtiens
U_(n+1)-U_n = -2(Un+1)(Un-1/2)/un truc qui est toujours positif qui dépend du signe de Un-1/2 car Un est bornée entre 1/3 et 1.
Je fais une disjonction de cas (que je trouve déjà très sale) pour dire que si U_n-1/2 est supérieur à 0 alors U_n est décroissante et minorée et donc convergente et que si U_n -1/2 est inférieur à 0 alors U_n est croissante et majorée donc convergente.
Pouvez vous me dire quels sont les moyens pour prouver la convergence d'une suite, et ceux qui sont les plus élégants et les plus courts. Pouvez vous corriger/infirmer mes démonstrations 1 et 2. '''
Merci encore pour votre temps

Tu as montré que |un-1/2| < (3/5)^n.

La définition de "la suite un tend vers la limite l" c'est :
"pour tout e > 0, il existe un rang N tel que pour tout n > N, |un-l | < e".

Visiblement un bon candidat pour être la limite c'est 1/2.

Ta méthode te donne une condition nécessaire mais pas suffisante (elle converge forcément vers un pont fixe de f(un) =un+1, si elle converge)

Après faut étudier la monotonie de un en fonction de u0, souvent cz passe par une étude de f(x)-x mais si la fonction est décroissante ça devient compliqué

Une suite s'écrit sous la forme (U_n), U_n c'est le terme de rang n. Visiblement, tu ne fais pas la distinction et tu donnes un énoncé qui ne veux rien dire.

La première méthode est évidemment fausse, on te demande de montrer qu'elle est convergente, pas de déduire la limite dans le cas où elle le serait.

La deuxième méthode ne peux pas être utilisée simplement parce que (U_n) n'est ni croissante ni décroissante. Tu pourrais trouver le résultat au final, mais ça reviendrait à utiliser la méthode correcte avec beaucoup de choses inutiles.

Pourquoi t'as-t-on fait déterminer une majoration de |u_n - 1/2| à ton avis ? Dans quel cas un encadrement du terme de rang n d'une suite est-il utile ?

Merci pour vos réponses, en effet, j'en avais oublié la définition première de la convergence d'une suite
Par contre, faut-il préciser le rang à partir duquel la suite appartient à e-epsilon ; e+epsilon, sachant que dans notre situation cela est impossible puisque la suite est donnée par récurrence.

ce qui me dérange un peu c'est que si abs(Un-1/2) est inférieur à un réel m et que M supérieur à m, ce n'est pas pour autant que U_n converge vers M... Il ne faut pas oublier que dans la définition complète on a "Pour tout epsilon (donc qu'il soit aussi petit qu'on veut) il existe un A appartenant aux entiers naturels tel que pour tout n supérieur à n" etc.

Le 09 septembre 2018 à 17:41:51 IntellectSup a écrit :
Merci pour vos réponses, en effet, j'en avais oublié la définition première de la convergence d'une suite
Par contre, faut-il préciser le rang à partir duquel la suite appartient à e-epsilon ; e+epsilon, sachant que dans notre situation cela est impossible puisque la suite est donnée par récurrence.

Si tu peux montrer qu'il existe un rang, c'est suffisant pour qu'elle soit convergente. Pas besoin de donner ce rang effectivement.

ce qui me dérange un peu c'est que si abs(Un-1/2) est inférieur à un réel m et que M supérieur à m, ce n'est pas pour autant que U_n converge vers M... Il ne faut pas oublier que dans la définition complète on a "Pour tout epsilon (donc qu'il soit aussi petit qu'on veut) il existe un A appartenant aux entiers naturels tel que pour tout n supérieur à n" etc.

Je n'ai pas compris à quoi correspondent ton m et ton M. Relis mieux la définition de la limite, il manque la fin.

Comment montre-t-on l'existence d'un rang à partir duquel Un est compris entre l-epsilon et l+epsilon sans le calculer ?

On peut considérer (3/5)^n comme epsilon juste parce qu'il est arbitrairement petit ? Par exemple abs(Un-1/2) inférieur à 2^n pour tout n pourtant 2^n diverge et ne converge pas comme (3/5)^n

On peut considérer (3/5)^n comme epsilon juste parce qu'il est arbitrairement petit

Tu peux être plus précis que "arbitrairement petit". D'ailleurs, tu n'as pas besoin d'utiliser cette définition de la limite ici, juste un certain théorème.

Si tu veux parler de ce théorème (si à partir d'un certain rang, U_n-l inférieur à V_n et V_n tend vers 0 implique que U_n tend vers l) il faut d'abord montrer la convergence avant de pouvoir l'appliquer.

Pour dire que (3/5)^n est arbitrairement petit on peu dire que quand n tend vers plus infini, cas de toute convergence, cela tend vers 0 ou autrement dit epsilon. Ce qui voudrait dire qu'on pourrait se ramener à la définition de la limite. Ce qui me paraissait bizarre c'était l'idée que toute majoration impliquait une limite (qui est fausse si la majoration ne tend vers 0 quand n tend vers plus infini)

Le 09 septembre 2018 à 18:26:54 IntellectSup a écrit :
Si tu veux parler de ce théorème (si à partir d'un certain rang, U_n-l inférieur à V_n et V_n tend vers 0 implique que U_n tend vers l) il faut d'abord montrer la convergence avant de pouvoir l'appliquer.

Non, c'est uniquement celle de (V_n) que tu dois montrer

Pour dire que (3/5)^n est arbitrairement petit on peu dire que quand n tend vers plus infini, cas de toute convergence, cela tend vers 0 ou autrement dit epsilon. Ce qui voudrait dire qu'on pourrait se ramener à la définition de la limite. Ce qui me paraissait bizarre c'était l'idée que toute majoration impliquait une limite (qui est fausse si la majoration ne tend vers 0 quand n tend vers plus infini)

En fait, tu peux écrire la définition de la limite pour (3/5)^n de en finissant par : pour tout n > n_0, 0 < (3/5)^n < epsilon
D'où pour tout n > n_0, 0 < abs(u_n - 1/2) < (3/5)^n < epsilon

Okayyy, merci beaucoup, je viens de comprendre