Bonjour,
Je suis arrivé à demontrer cette égalité par récurrence :

Mais je me demandais comment peut on la démontrer SANS la récurrence... Je n'y suis pas arrivé et je ne trouve pas de démonstration sur internet. J'ai décomposé le somme mais je n'arrive pas a aller plus loin. Des conseils , idées ?

Merci d'avance.

Up

Salut,

j'y réfléchis depuis que tu as posté :

Le cas p = 1 correspond à la somme classique S = 1 + 2 + ... + n

Le cas p = 2 correspond à la somme 1×2 + 2×3 +... + n(n+1)
On peut dériver le résultat de cette somme à partir de S en développant le terme général : n(n+1) = n² + 1 donc on est ramené à calculer la somme des k² + la somme des k. La deuxième est S et la première dérive de S de façon classique en télescopant l'égalité (n+1)^3 - n^3 = 3n² + 3n + 1

Dans le cas général, on peut développer le terme général n(n+1)(n+2)...(n+p) et se retrouver avec des sommes de k^a qu'on fait dériver de S en télescopant successivement les (n+1)^a - n^a.

C'est très long, peu satisfaisant puisque ça nécessite quand même de passer par un raisonnement inductif, et ça va faire manipuler des grosses formules pour en arriver à celle de l'énoncé qui semble beaucoup trop simple pour provenir de si compliqué.

J'ai pas mieux pour le moment, mais je suis certain qu'encore mieux qu'une preuve directe, il doit y avoir une "proof without word" élégante.

y'a une démonstration triviale mais faut connaitre l'identité assez célèbre https://en.wikipedia.org/org/wiki/Hockey-stick_identity

$$\begin{align}
\sum_{i=1}^n \prod_{j=0}^p (i+j)
&= \sum_{i=1}^n \frac{(i+p)!}{(i-1)!}\\
&= (p+1)!\sum_{i=1}^n \binom{i+p}{i-1} \\
&= (p+1)!\sum_{i=1}^n \binom{i+p}{p+1} \quad \text{car } \binom nk = \binom{n}{n-k}\\
&= (p+1)!\sum_{i=p+1}^{n+p} \binom{i}{p+1} \\
&= (p+1)! \binom{n+p+1}{p+2} \quad \text{par l'identité}\\
&= \frac{(n+p+1)\ldots n}{p+2}
\end{align}$$