Bonsoir, petite question anecdotique sur la définition formelle d'une asymptote verticale.

Soit f une fonction définie au voisinage de a, a étant un réel fixé. Si lim de f quand x tend vers a à droite (resp à gauche) = plus ou moins infini alors on dit que la droite d'équation x=a est une asymptote verticale à la courbe de f.

Deux questions : faut-il forcément que f ne soit pas défini en a afin que cette même fonction admette une asymptote verticale ? Existe-t-t'il des fonctions définies en a qui admettent des asymptotes verticales (et j'exclus le cas des asymptotes obliques). En effet, intuitivement si on prend a très très grand et que l'on pose f(x)=x, quand x tend vers a, f(x) est très très grand (on peut l'approximer par plus infini). Pour autant, il n'y a aucun point de la courbe de f qui soit parallèle à l'axe des ordonnées.

Merci pour ces précisions.

prends la fonction inverse (f(x)=1/x pour x différent de 0) et rajoute f(0)=0
ou alors j'ai rien compris à la question

J'ai pas du tout compris ton exemple. f(x)=x (la fonction identite) n'admet pas d'asymptote verticale ; et ca n'a pas de sens de parler de point isole parallele a un axe.

quand x tend vers a, f(x) tend vers f(a)=a (si ta fonction est continue) je vois pas de quoi tu parles

Le 29 août 2018 à 16:09:43 ours-deter a écrit :
prends la fonction inverse (f(x)=1/x pour x différent de 0) et rajoute f(0)=0
ou alors j'ai rien compris à la question

Désolé si ma question n'est pas claire mais je voulais savoir si une fonction qui admet une asymptote verticale d'équation x=a peut être définie en a. En effet, la fonction inverse admet une asymptote horizontale d'équation x=0 mais n'est pas définie en 0. Je voulais savoir si la définition même de l'asymptote impliquait que f ne soit pas définie en a.

Pour ce qui est de la fonction identité, il est clair qu'elle n'admet pas d'asymptote verticale, mais je voulais exprimer avec une intuition (même si l'exemple est faut) le fait qu'elle est définie pour tout R et de ce fait que si on prend un a très très grand alors on peut dire que la lim f(x)= plus infini lorsque x tend vers a, exprimant ainsi qu'une fonction qui tend vers a et est définie en a peut tendre vers plus infini et ainsi avoir une asymptote verticale d'équation x=a. Cet exemple est faux mais j'essayais de me faire comprendre.

Ours-deter, la fonction que tu m'as donné répond bien aux conditions. J'ai donc une question plus large : existe-t-il une fonction continue et définie sur l'intervalle (a;plus infini) tel que lim f(x)= plus ou moins l'infini quand x tend vers a

Merci de vos réponses

Si tu reviens a la definition de la continuite, tu devrais voir sans trop de difficulte que ca n'est pas possible. Tu devrais avoir la condition que la limite de f(x) quand x tend vers a est egale a f(a), et en meme temps etre une limite infinie

Super merci