Bonjour, diverses questions d'arithmétique

Enoncé : Soient a, b, c des entiers. Montrer que si n est un entier vériant an^2 + bn + c = 0
alors n | c.

Dans la correction ils isolent le c et utilisent la transitivité pour dire que n divise c. Je me demandais si on ne pouvait pas tout simplement dire que an^2+bn+c=0 \rightleftharpoons n(an+b+c/n)=0 et donc n divise c.

Enonce numéro 2: Déterminer les entiers n tels que n^5-2n^4-7n^2-7n+3=0
Même chose j'isole le 3, je dis que n divise -(n^5-2n^4-7n^2-7n) donc n divise 3. Or, 3 est premier donc n=-1,1, -3, 3. Or, dans la correction il vérifient les solutions et excluent 1 et -3

1) Faut-il systématiquement vérifier ces solutions lors de ce type d'exercices.
2) comment se fait-il que de fausses solutions aient été introduites ?

Salut,

pour le premier énoncé, comment obtiens-tu ta conclusion que n divise c? On comprend bien que c'est pour que c/n soit un entier, mais pourquoi doit-il être un entier? Pour être égal à -an-b qui lui est un entier. Au final en disant tout ça, ça revient à faire la même chose que ce que propose ta correction mais en plus long. Donc ta solution est correcte mais elle manque de détail et inclure ces détails conduit à une preuve inutilement plus longue.

pour le second énoncé, lorsque tu écris "donc n divise 3" tu obtiens une condition nécessaire mais pas suffisante. Pour que n soit solution, il faut qu'il soit un diviseur de 3, mais rien ne dit dans ton raisonnement que tous les diviseurs de 3 sont solutions. Et effectivement, en les vérifiant un par un comme le fait ta correction, on se rend compte qu'en fait il y en a deux qui ne conviennent pas.

Merci pour ta réponse très claire :
Pour le 1, j'obtiens n divise c puisque que je factorise simplement par n, d'où, an^2+bn+c=0, an(n+b+c/n)=0 donc n divise c.

Pour le 2, si j'ai bien compris c'est parce qu'on a l'implication n^5-2n^4-7n^2-7n+3=0 implique que n divise 3 mais pas de réciproque (condition nécessaire mais non suffisante) et que l'on doit raisonner par la réciproque qu'on essaie de voir les cas limites c'est à dire les solutions crées.

Pour le 1, j'obtiens n divise c puisque que je factorise simplement par n, d'où, an^2+bn+c=0, an(n+b+c/n)=0 donc n divise c.

D'où sort ce "donc n divise c" ? Écris le raisonnement complet

Tu prouves rien sur la 1) là

En effet, j'ai fait une confusion. C'est pas parce je factorise par n mon polynôme par n, me donnant ainsi n(an+b+c/n) que c/n est un entier ce qui prouverait que n divise c. Je me suis rué sur l'écriture au lieu de réfléchir au groupe auquel appartient c/n...

Il faut que tu penses à expliciter le cas ou n = 0 (meme si il est trivial) avant de diviser par n. Tu verras que la suite du raisonnement se fait toute seule ensuite.